Классификация точек разрыва: как найти первого и второго рода

Непрерывность функции

Функция

• она определена в этой точке и ее некоторой
  -окрестности;
• существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

• предел функции в точке
  равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна
так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64):
Рис. 64. График функции
Область определения функции: т.е. точка
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке:
Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функцияимеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке
функция имеет неопределенность
поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы
убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции:
т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке:
Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции:
т.е. точка
является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке:
Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Смысл точки разрыва функции

Определение точек разрыва функции и их видов является продолжением темы непрерывности функции. Наглядное (графическое) объяснение смысла точек разрыва функции даётся так же в контрасте с понятием непрерывности. Научимся находить точки разрыва функции и определять их виды. И помогут нам в этом наши верные друзья — левый и правый пределы, обобщённо называемые односторонними пределами. Если у кого-то есть страх перед односторонними пределами, то скоро развеем его. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций .

Точки на графике, которые не соединены между собой, называются точками разрыва функции. График такой функции, терпящей разрыв в точке x=2 — — на рисунке ниже.

Обобщением вышесказанного является следующее определение. Если функция не является непрерывной в точке , то она имеет в этой точке разрыв а сама точка называется точкой разрыва. Разрывы бывают первого рода и второго рода.

Для того, чтобы определять виды (характер) точек разрыва функции нужно уверенно находить пределы . Но в связи с точками разрыва у нас появляется кое-что новое и важное — односторонние (левый и правый) пределы.

Обобщённо они записываются (правый предел) и (левый предел). Как и в случае с пределом вообще, для того, чтобы найти предел функции, нужно в выражение функции вместо икса подставить то, к чему стремится икс. Но, возможно, спросите вы, чем же будут отличаться правый и левый пределы, если в случае правого к иксу хотя что-то и прибавляется, но это что-то — ноль, а в случае левого из икса что-то вычитается, но это что-то — тоже ноль? И будете правы. В большинстве случаев.

Но в практике поиска точек разрыва функции и определения их вида существует два типичных случая, когда правый и левый пределы не равны:

• у функции существует два или более выражений, зависящих от участка числовой прямой, к которой принадлежит икс (эти выражения обычно записываются в фигурных скобках после f(x)=);
• в результате подстановки того, к чему стремится икс, получается дробь, в знаменателе которой остаётся или плюс ноль (+0) или минус ноль (-0) и поэтому такая дробь означает либо плюс бесконечность, либо минус бесконечность, а это совсем разные вещи.

Нахождение точек разрыва функции может быть как самостоятельной задачей, так и частью Полного исследования функции и построения графика .

Точки разрыва и их классификация

Точка, в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва функции, а сама функция называется разрывной в этой точке.

Точка
будет точкой разрыва функции 
если выполняется одно из условий:

1. функция в точке  не определена;
2. не существует предела функции в точке  или он равен бесконечности;
3. предел функции в точке  не совпадает со значением функции в этой точке.

Различают два вида точек разрыва — первого рода и второго рода (рис.55).

Исследуя точки разрыва, используют односторонние пределы. Это означает, что рассматривают поведение функции для значений  только справа или слева от точки 
Таким образом получают соответственно правосторонний или левосторонний пределы.

Обозначают:

•  — правосторонний предел функции 
  в точке 
•   — левосторонний предел функции 
  в точке 

Точку  называют точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные односторонние пределы (рис. 56, а).

Точку называют точкой разрыва второго рода, если хоть один из односторонних пределов является бесконечным, либо вообще не существует (рис. 56, б).

Если левосторонний и правосторонний пределы в точке  — конечные и равные между собой, но не равны значению функции в этой точке, то точку  называют устранимой точкой разрыва (рис. 56, в).

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций
которые определены в некоторой -окрестности точки
в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции
непрерывны в некоторой -окрестности точки
то выполняются равенства:
В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что
Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций
при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

• находят область определения функции; точки, в которых функция не определена, являются точками подозрительными на разрыв: если функция задана словесным образом, т.е. описывается разными формулами на разных интервалах, то точками подозрительными на разрыв являются точки, определяющие границы интервалов;
• исследуют подозрительные на разрыв точки, для чего вычисляют лево- и правосторонние пределы; классифицируют точки разрыва;
• при наличии точек разрыва строят график функции в малой
  -окрестности точки .

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

• 
  точка
  является точкой подозрительной на разрыв.
• вычислим левосторонний
  и правосторонний
  
  пределы; так как пределы бесконечные, то точка
  является точкой разрыва второго рода;
• построим график функции в небольшой окрестности точки разрыва (Рис. 65).

Рис. 65. Поведение графика функции
в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал
будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего
значений на концах сегмента
На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента
На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Примеры с решением

Пример №1

Найдите точки разрыва функции 
и выясните их характер.

Решение:

Поскольку на ноль делить нельзя, то точкой разрыва данной функции является 
Для выяснения её характера вычислим односторонние границы данной функции в этой точке.

Итак, односторонние пределы равны бесконечности, поэтому 
— точка разрыва второго рода.

Пример №2

Исследуйте функцию 
на непрерывность и постройте её график.

Решение:

На каждом из интервалов 
функция непрерывна как многочлен. Поскольку вся область определения функции разделена на два промежутка точкой 
то в этой точке функция может иметь разрыв. Выясним, существует ли предел функции в этой точке.

Если 
слева, то функция имеет вид

а при 
справа 
Следовательно, 
— точка разрыва первого рода, неустранимый разрыв. График этой функции изображён на рисунке 57.

Односторонние пределы используют для нахождения вертикальных асимптот кривых.

Прямая
называется вертикальной асимптотой кривой, если при 
(справа или слева) значение функции стремится к бесконечности, т.е. выполняется одно из условий:

Например, ось
является вертикальной асимптотой для графиков функций
(см. рис. 17, б) и 
(см. рис. 33).

Пример №3

Найдите вертикальные асимптоты кривой

Решение:

Поскольку функция не определена в точке 
то в этой точке кривая может иметь вертикальную асимптоту. Вычислим пределы:

Следовательно, 
вертикальная асимптота данной кривой.

Замечание: Если — вертикальная асимптота функции — точка разрыва второго рода.

Пример №4

Исследуйте заданные функции на непрерывность и выясните характер их точек разрыва:

Решение:

Заданные в условии функции элементарные, а потому непрерывные в каждой точке области определения, а именно на множестве 

• Функция
  не определена в точке 
  следовательно, эта точка является точкой разрыва. Поскольку 
  является точкой разрыва первого рода, устранимый разрыв.
• Функция не определена в точке 
  эта точка является точкой разрыва. Поскольку 
  то является точкой разрыва второго рода.

Пример №5

Заданные функции до определить в точке 
так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:

Решение:

• Имеем
  Положив 
  получим, что т.е. функция непрерывна в точке 
  Итак, 
• Вычислим предел заданной функции в точке
  Имеем:

Если теперь за значение функции в точке 
взять число  , то функция станет непрерывной в этой точке.

Итак, 

Пример №6

Имеет ли уравнение 
хотя бы один действительный корень на отрезке 

Рассмотрим функцию

Эта функция непрерывна на отрезке
и на его концах приобретает различные по знаку значения: 
Итак, согласно теореме Больцано—Коши существует по крайней мере одна точка 
в которой значение функции равно нулю. Число-с и является корнем заданного уравнения.

Пример №7

Имеет ли горизонтальные и вертикальные асимптоты кривая 

Решение:

Найдём вертикальные асимптоты. Заданная функция не определена в точке
Поскольку  то прямая — вертикальная асимптота. 2) Найдём горизонтальные асимптоты.

Горизонтальных асимптот нет.