Калькулятор комлексных чисел

Как пользоваться калькулятором

  1. Введите выражение комплексного числа в поле ввода
  2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С раствором»
  3. Нажмите кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трех форматах:

  • Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
  • Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
  • Действительная и мнимая части: 2 + i, -5 + 15i, -7 + 2.5i, -6 + i
  • Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

  • Арифметические операции: +, -, *, /, ^
  • Получите абсолютное значение числа: абс
  • Основные математические функции: exp, ln, sqrt
  • Получение реальных и мнимых частей: re, im
  • Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
  • Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
  • Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

  • (2 + 3i) * (5-7i)
  • ш (я)
  • (4 + i) / (3 — 4i)
  • sqrt (2i)
  • (-3 + 4i) * 2i / esp (2i + (15 — 8i) / 4 — 3,75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа в форме x + iy, где x, y — действительные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, т.е i2 = -1).

Как и для действительных чисел, операции сложения, разности, умножения и деления определены для комплексных чисел, но комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

  • 4 + 3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
  • -2 + i — действительная часть = -2, мнимая = 1
  • i — действительная часть = 0, мнимая = 1
  • -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
  • 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основные операции, определенные для комплексных чисел, — это сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

  • сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
  • вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d) i
  • умножение: (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad) i
  • деление: a + bic + di = (a + bi) (c — di) c2 + d2 = (ac + bd) c2 + d2 + (bc — ad) c2 + d2i

Примеры

  • Найдите сумму чисел 5 + 7i и 5.5-2i:

Находим отдельно сумму действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5,5 = 10,5, im = 7 — 2 = 5.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 10,5 + 5i
Полученное число будет ответом: 5 + 7i + 5,5-2i = 10,5 + 5i

  • Найдите разницу между числами 12-i и -2i:

Находим отдельно различия действительных частей и различия мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

  • Найдите произведение чисел 2 + 3i и 5-7i:

Находим действительную и мнимую части по формуле: re = 2 · 5 — 3 · (-7) = 31, im = 3 · 5 + 2 · (-7) = 1.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число будет ответом: 2 + 3i * (5-7i) = 31 + i

  • Найдите соотношение между числами 75-50i и 3 + 4i:

Находим действительную и мнимую части по формуле: re = (75 3 — 50 4) / 25 = 1, im = (-50 3 — 75 4) / 25 = -18.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число будет ответом: 75-50i / (3 + 4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо основных операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

  • Получите действительную часть числа: Re (z) = a
  • Получите мнимую часть числа: Im (z) = b
  • Форма номера: | z | = (a2 + b2)
  • Числовой аргумент: arg z = arctan (b / a)
  • Показатель степени: ez = ea cos (b) + i ea sin (b)
  • Логарифм: Ln (z) = ln | z | + i аргумент (z)
  • Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
  • Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
  • Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctan z, arcctg z
  • Обратные гиперболические функции: arsh z, arth z, arth z, arcth z

Примеры

Найдите действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re (z) = Re (4 — 3i) = 4
Im (z) = Im (4 — 3i) = -3
| z | = (42 + (-3) 2) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

комплексные числа принято представлять в одной из следующих трех форм: алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной.

  • Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, записывающая число как сумму действительной и мнимой частей: x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
  • Тригонометрическая форма — это обозначение вида r (cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = | z |), а φ — аргумент этого числа (φ = arg (z))
  • Экспоненциальная форма — это обозначение формы r eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = | z |), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg (z))

Возведение в степень. Формула Муавра

Когда комплексное число возводится в натуральную степень, модуль увеличивается до этой степени, а аргумент умножается на показатель степени.

218 (cos6π + i * sin6π) = 218 = 262144

Что делать, если комплексное число нужно возвести в большую степень. Например: (1 + i) 988. Достаточно сначала возвести это комплексное число во вторую степень:
(1 + i) 2 = 2i, а затем 2i988 / 2 = 2i494 = 2494i494 = 2494 (-1) 247 = -2494

Все вычисления комплексных чисел можно проверить онлайн.
Примечание:

  • abs — модуль комплексного числа | z |. Пример: абс (-5,5-6,6i)
  • arg — аргумент комплексного числа. Пример: arg (5.5 + 6.6 i)

Пример 1. Напишите комплексное число в тригонометрической форме.

z = -1-4i Основная формула: z = | z | cos (φ + 2πk) + i sin (φ + 2πk), где φ = arctan ((- 4) / (- 1));
Алгоритм

  1. найти угол.
  2. найти модуль | z | = sqrt (x2 + y2).
  • Найдите тригонометрическую форму комплексного числа z = -1-4i

Действительная часть комплексного числа: x = Re (z) = -1
Мнимая часть: y = Im (z) = -4
Модуль комплексного числа:
Поскольку x <0, y <0, то arg (z) находится как:
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-4i

  • Найдите экспоненциальную форму комплексного числа

Как преобразовать тригонометрическую форму комплексного числа в алгебраическую.

Модуль комплексного числа равен 2, то есть
или x2 + y2 = 4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему двух уравнений:
х2 + у2 = 4

Оцените статью
Блог про прикладную математику