- Как пользоваться калькулятором
- Ввод комплексных чисел
- Поддерживаемые операции и математические функции
- Примеры корректных выражений
- Комплексные числа
- Примеры комплексных чисел
- Основные действия с комплексными числами
- Примеры
- Другие действия над комплексными числами
- Примеры
- Формы представления комплексных чисел
- Возведение в степень. Формула Муавра
Как пользоваться калькулятором
- Введите выражение комплексного числа в поле ввода
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С раствором»
- Нажмите кнопку «Построить»
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трех форматах:
- Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
- Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
- Действительная и мнимая части: 2 + i, -5 + 15i, -7 + 2.5i, -6 + i
- Математические константы: π, e
Поддерживаемые операции и математические функции
- Арифметические операции: +, -, *, /, ^
- Получите абсолютное значение числа: абс
- Основные математические функции: exp, ln, sqrt
- Получение реальных и мнимых частей: re, im
- Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
- Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
- Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
- Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth
Примеры корректных выражений
- (2 + 3i) * (5-7i)
- ш (я)
- (4 + i) / (3 — 4i)
- sqrt (2i)
- (-3 + 4i) * 2i / esp (2i + (15 — 8i) / 4 — 3,75)
Комплексные числа
Комплексные числа — это числа в форме x + iy, где x, y — действительные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, т.е i2 = -1).
Как и для действительных чисел, операции сложения, разности, умножения и деления определены для комплексных чисел, но комплексные числа нельзя сравнивать.
Примеры комплексных чисел
- 4 + 3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
- -2 + i — действительная часть = -2, мнимая = 1
- i — действительная часть = 0, мнимая = 1
- -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
- 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основные операции, определенные для комплексных чисел, — это сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
- сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
- вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d) i
- умножение: (a + bi) (c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac — bd) + (bc + ad) i
- деление: a + bic + di = (a + bi) (c — di) c2 + d2 = (ac + bd) c2 + d2 + (bc — ad) c2 + d2i
Примеры
- Найдите сумму чисел 5 + 7i и 5.5-2i:
Находим отдельно сумму действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5,5 = 10,5, im = 7 — 2 = 5.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 10,5 + 5i
Полученное число будет ответом: 5 + 7i + 5,5-2i = 10,5 + 5i
- Найдите разницу между числами 12-i и -2i:
Находим отдельно различия действительных частей и различия мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i
- Найдите произведение чисел 2 + 3i и 5-7i:
Находим действительную и мнимую части по формуле: re = 2 · 5 — 3 · (-7) = 31, im = 3 · 5 + 2 · (-7) = 1.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число будет ответом: 2 + 3i * (5-7i) = 31 + i
- Найдите соотношение между числами 75-50i и 3 + 4i:
Находим действительную и мнимую части по формуле: re = (75 3 — 50 4) / 25 = 1, im = (-50 3 — 75 4) / 25 = -18.
Пишем их рядом, добавляя к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число будет ответом: 75-50i / (3 + 4i) = 1 — 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо основных операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
- Получите действительную часть числа: Re (z) = a
- Получите мнимую часть числа: Im (z) = b
- Форма номера: | z | = (a2 + b2)
- Числовой аргумент: arg z = arctan (b / a)
- Показатель степени: ez = ea cos (b) + i ea sin (b)
- Логарифм: Ln (z) = ln | z | + i аргумент (z)
- Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
- Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
- Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctan z, arcctg z
- Обратные гиперболические функции: arsh z, arth z, arth z, arcth z
Примеры
Найдите действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re (z) = Re (4 — 3i) = 4
Im (z) = Im (4 — 3i) = -3
| z | = (42 + (-3) 2) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
комплексные числа принято представлять в одной из следующих трех форм: алгебраической, тригонометрической и экспоненциальной.
- Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, записывающая число как сумму действительной и мнимой частей: x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть
- Тригонометрическая форма — это обозначение вида r (cos φ + isin φ), где r — модуль комплексного числа (r = | z |), а φ — аргумент этого числа (φ = arg (z))
- Экспоненциальная форма — это обозначение формы r eiφ, где r — модуль комплексного числа (r = | z |), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg (z))
Возведение в степень. Формула Муавра
Когда комплексное число возводится в натуральную степень, модуль увеличивается до этой степени, а аргумент умножается на показатель степени.
218 (cos6π + i * sin6π) = 218 = 262144
Что делать, если комплексное число нужно возвести в большую степень. Например: (1 + i) 988. Достаточно сначала возвести это комплексное число во вторую степень:
(1 + i) 2 = 2i, а затем 2i988 / 2 = 2i494 = 2494i494 = 2494 (-1) 247 = -2494
Все вычисления комплексных чисел можно проверить онлайн.
Примечание:
- abs — модуль комплексного числа | z |. Пример: абс (-5,5-6,6i)
- arg — аргумент комплексного числа. Пример: arg (5.5 + 6.6 i)
Пример 1. Напишите комплексное число в тригонометрической форме.
z = -1-4i Основная формула: z = | z | cos (φ + 2πk) + i sin (φ + 2πk), где φ = arctan ((- 4) / (- 1));
Алгоритм
- найти угол.
- найти модуль | z | = sqrt (x2 + y2).
- Найдите тригонометрическую форму комплексного числа z = -1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re (z) = -1
Мнимая часть: y = Im (z) = -4
Модуль комплексного числа:
Поскольку x <0, y <0, то arg (z) находится как:
Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-4i
- Найдите экспоненциальную форму комплексного числа
Как преобразовать тригонометрическую форму комплексного числа в алгебраическую.
Модуль комплексного числа равен 2, то есть
или x2 + y2 = 4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему двух уравнений:
х2 + у2 = 4