Как найти площадь правильного треугольника: что это и формулы

Определение правильного треугольника

Треугольник называется правильным, если все его стороны равны: AB + AC + BC. Правильный треугольник еще называется равносторонним.

Общие сведения

Любое пространство можно описать размерностью. В трёхмерном измерении плоская геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков и такого же количества точек, в которых они соединяются, называется треугольником. Отрезки называют сторонами или боковыми гранями, площадь, ограниченная ими — внутренней, а точки — вершинами. Фигура имеет 3 угла и является невырожденной.

Строгого требования к обозначениям элементов многоугольника нет. Но традиционно вершины подписывают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, а противолежащие им стороны — аналогичными строчными знаками. В качестве обозначений для углов используют греческие символы: α, β, γ. Например, если имеется треугольник ABC, у него будут углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут подписываться и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA.

В зависимости от соотношения размеров сторон, все треугольники разделяют на 3 вида. Они бывают:

• Равнобедренными — многоугольники, у которых одна сторона не равна двум другим. Эта грань называется основанием. Углы при этой стороне равны.
• Разносторонние (неправильные) — длины всех граней разные.
• Равносторонние — треугольники, имеющие одинаковые стороны. Часто эти фигуры называют правильными. По сути, они являются частным случаем равнобедренного многоугольника.

Существуют правила, позволяющие утверждать о равенстве или подобии двух и более треугольников. Они считаются идентичными, то есть их параметры полностью совпадают, если 2 стороны и угол равны или все грани имеют одинаковую длину. А также фигуры будут одинаковыми, когда у них совпадают 2 стороны и угол, располагающийся напротив большего отрезка.

Признаки подобия помогают определить вид треугольника при сравнении с известным. Если 2 любых угла равны в обеих фигурах, они считаются похожими. Когда же 2 стороны многоугольника пропорциональны двум отрезкам другого, причём углы, заключённые между этими гранями, равны, такие фигуры подобны.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

• Отрезок BH перпендикулярен прямой AC по построению.
• Точка H разделяет отрезок AC на AD и CD. Если это утверждение будет верным, это означает, что построенная высота BH будет медианой треугольника.
• Отрезок BH создаёт в многоугольнике 2 угла — ∠ABH и ∠CBH. При верности этого утверждения можно утверждать, что отрезок BH является биссектрисой.

Если создать зеркальное отражение треугольнику и совместить его с оригинальным, все углы попарно совместятся. Совпадут и стороны. Так как ВH — высота, она перпендикуляр. Значит, в точке H отрезок образует прямой угол с боковой гранью AC. Отсюда следует, что образованные треугольники AHB и CBH прямоугольные.

Они являются равными по общей гипотенузе и острому углу. Это следует из того, что правильный многоугольник — частный случай равнобедренного. Так как треугольники совпадают, у них одинаковые углы ABH и CBH. Причём они смежные, поэтому BH — биссектриса. В то же время точка H делит AC на 2 равных отрезка, значит, BH — медиана.

Точка, в которой пересекаются отрезки, будет центром тяжести фигуры. Её особенность в том, что она разделяет эту линию на 2 части в отношении 2 к 1, если считать от угла. Кроме этого, из-за равенства медианы и биссектрисы эта точка будет и ортоцентром.

Свойства правильных треугольников

1. В правильном треугольнике все углы равны между собой и равны 60^.
2. Высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой и биссектрисой.
3. Центры пересечения медиан, биссектрис и высот совпадают.
4. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
5. Радиусы r и R, вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника, связаны с длиной его стороны a следующими соотношениями:r=frac{sqrt{3}}{6} a, quad R=frac{sqrt{3}}{3} a$$

Треугольник с равными сторонами

Каждый школьник, в каком бы классе он ни учился, знает, что собой представляет треугольник. Он является самой простой замкнутой фигурой на плоскости и в пространстве, поскольку образован тремя отрезками (четырьмя ограничены следующие по сложности за ним фигуры: прямоугольник, квадрат, параллелограмм и т. д. ).

Состоит он из трех сторон, которые определяют 3 его угла (отсюда и название геометрического объекта). Для определения значений углов в градусах следует при решении задач использовать теорему о равенстве их суммы — 180. При этом неважно, к какому типу относится сама фигура (равнобедренный, прямоугольный и т. д. ), теорема остается справедливой всегда.

Исходя из названия, равносторонний треугольник — плоская фигура, все 3 стороны которой равны между собой. Для нее являются справедливыми следующие свойства:

• Все 3 угла равны между собой и составляют 60 градусов, поэтому его также называют равноугольным. Это утверждение справедливо в обратную сторону: если все углы треугольника составляют 60 градусов, он является равносторонним.
• Медиана, биссектриса и высота совпадают друг с другом, то есть любая из этих линий будет делить угол пополам, противоположную сторону на 2 равные части и будет перпендикулярна ей одновременно.
• Наличие трех осей симметрии. Все они совпадают с соответствующими медианами, биссектрисами, высотами. Оси пересекаются в точке, которая является геометрическим и массовым центром фигуры. Повороты на 0, 120, 240 и 360 градусов вокруг этой точки треугольника будут переводить его самого в себя, то есть являются операциями симметрии.
• Любые 2 рассматриваемых треугольника являются подобными. Этот вывод следует из равенства их трех углов.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Длина высоты и ее частей

Прежде чем приводить формулы площади равностороннего треугольника, следует выяснить, какую длину имеют его биссектрисы, высоты или медианы. Пусть эта величина будет обозначаться латинской буквой h, а сторона фигуры обозначается a. Поскольку проведенная высота из любого угла делит его на 2 прямоугольных треугольника, этот факт можно использовать для вычисления величины h. Проще всего применить определение какой-либо тригонометрической функции, например, синуса:

sin (60) = h/a.

Согласно определению, синусом угла называется отношения противолежащего катета (h) к гипотенузе (a). Поскольку значения функции sin (60) является табличной величиной, получается следующее выражение для h:

h = 30,5 /2*a.

Из формулы следует, что высота h составляет приблизительно 87% от длины стороны a.

Для получения полной информации о свойствах биссектрис, медиан и высот треугольника, нужно определить, на какие части делит их точка пересечения. Следует ввести некоторые обозначения:

• A, B, C — вершины равноугольного треугольника;
• Q — точка пересечения биссектрис, медиан и высот фигуры;
• P — середины стороны BC, на которую опущена высота AP.

Треугольник PQB является прямоугольным. Прямым углом будет QPB. Поскольку угол QBP разделен биссектрисой на 2 одинаковые части, он составляет 30 градусов. Катет QP лежит против этого угла, поэтому будет иметь длину в 2 раза меньшую, чем гипотенуза BQ. Нетрудно увидеть, что сумма длин BQ и QP равна высоте h. Эти рассуждения позволяют получить следующие формулы:

• QP = ½*BQ = 1/3*h = 30,5 /6*a = r;
• BQ = 2*QP = 2/3*h = 30,5 /3*a = R.

Здесь введены новые буквы r и R для обозначения длин QP и BQ, соответственно.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

• CD перпендикулярна AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
• AD = DB
• ∠ACD = ∠DCB = 30°

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

• R – радиус описанной окружности;
• r – радиус вписанной окружности;
• R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

• Высоту/медиану/биссектрису:
  
• Радиус вписанной окружности:
  
• Радиус описанной окружности:
  
• Периметр:
  
• Площадь:
  

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB2 = h2 + (AB / 2)2. Это равенство решают следующим образом: AB2 = h2 + AB2 / 22. Выражение можно преобразовать в вид: (3a2 / 4) = h 2 → a 2 = (4 * h2) / 3 → a 2 = √‎((4 * h2) / 3) → a = (2 * h) / √3.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

• Площадь. Находят из выражения: S = (a 2 * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a2 * sin 60 = ½ * a2 * √3 / 2 = (√3 / 4) * a2. Что и следовало доказать.
• Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a2 = b2 + c2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Формулы площади

Чему равна площадь равностороннего треугольника можно определить с использованием нескольких формул. Для этого привлекаются в том числе понятия вписанной и описанной окружности.

Через величины a или h

Площадь абсолютно любого треугольника может быть определена как произведение его высоты на длину основания, которое следует поделить пополам. Если записать это выражение для равноугольного треугольника, можно получить следующие формулы:

• S = ½*a*h;
• S = 30,5 /4*a 2 ;
• S = 30,5 /3*h 2 .

Для получения этих выражений была использована формула связи между длинами высоты h и основания a. Уравнения справедливы для любого треугольника с равными сторонами. Для прямоугольного или равнобедренного эти выражения уже не подходят.

Формулы через длины h и a для площади S говорят, что для однозначного определения геометрической характеристики достаточно знать лишь один параметр треугольника, имеющий размерность длины.

Через радиусы r или R

Чтобы определить площадь, достаточно узнать любой линейный параметр. Это необязательно может быть сторона или высота, но также радиусы вписанной и описанной окружностей.

Вписанной называется окружность, которая лежит внутри фигуры и касается всех ее сторон. В случае равностороннего треугольника ее центр находится в точке пересечения медиан (высот, биссектрис), то есть в точке Q. Ее радиус r равен отрезку QP и составляет:

r = 30,5 /6*a.

Выразив из этого равенства сторону a и подставив ее в формулу для площади S через a, можно получить следующее выражение:

S = 3*30,5 *r 2 .

Центр вписанной окружности является для равностороннего треугольника центром описанной вокруг него. Ею принято называть в геометрии фигуру, которая проходит через все вершины многоугольника. Поскольку ее центр лежит в точке Q, радиус R будет равен длине отрезка QB. Формула для него уже известна:

R = 30,5 /3*a.

Аналогичным образом, выражая из этого равенства величину a, и подставляя ее в формулу для S, можно получить следующее выражение:

S = 3*30,5/4*R 2 .

Это равенство можно было также получить, если вспомнить, что радиус описанной окружности R в 2 раза больше радиуса r.

Примеры решения задач

Выведенные формулы можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Для понимания, как их следует использовать, следует рассмотреть несколько примеров.

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

• Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
• Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
• Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
• Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Проверить правильность решения, возможно, используя онлайн-калькуляторы. Это сервисы, которые предлагают бесплатно вычислить элементы правильной фигуры. При этом от пользователя требуется лишь внести в специальную форму исходные данные и нажать кнопку «Рассчитать».

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Описанная и вписанная окружности

Дан некоторый равноугольный треугольник. Известно, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей составляет 3 см. Следует найти площадь фигуры.

На первый взгляд может показаться, что нахождение решения этой задачи требует проведения некоторых промежуточных вычислений, но это не так. Если вспомнить, что радиус описанной окружности R ровно в 2 раза больше величины r, то их разница является не чем иным, как самим радиусом вписанной окружности r. Для получения ответа на задачу следует всего-навсего воспользоваться известной формулой и вычислить S:

S = 3*30,5 *r 2 = 46,765 см 2 .

Тетраэдр и его поверхность

Тетраэдр является объемной фигурой, которая ограничена четырьмя гранями, являющимися равноугольными треугольниками. Необходимо определить площадь поверхности этой геометрической фигуры, если известно, что ее объем составляет 100 см 3 .

Чтобы посчитать необходимую площадь, следует найти эту величину всего лишь для одного равностороннего треугольника, а затем полученное число умножить на 4. Из курса стереометрии известно, что объем тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:

V = 20,5 /12*a 3 .

Отсюда можно получить длину стороны a:

a = (12*V/20,5)^(1/3).

Подставляя значение объема тетраэдра из условия задачи, можно рассчитать a = 9,467 см. Это значение округлено до третьего знака после запятой.

Теперь можно применить формулу для расчета площади S через a:

S = 30,5/4*a 2 = 38,81 см 2 .

Получилась площадь одной грани тетраэдра. Поскольку объемная фигура состоит из четырех одинаковых треугольников, то площадь его поверхности St составит:

St = 4*S = 155,24 см 2 .

Таким образом, высокая симметрия равностороннего треугольника позволяет рассчитывать его площадь, зная всего один линейный параметр фигуры. Чаще всего таковым является высота, сторона основания или радиусы вписанной и описанной окружностей.