Как найти определитель матрицы: второго, третьего, произвольного порядка

Что такое определитель матрицы

Чаще всего в различных математических задачах необходимо найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже — четвертого и т.д. Сразу отметим, что определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.

Идентификатор обычно обозначается двумя вертикальными полосами. Те, если у нас есть матрица A, то определитель можно обозначить как | A |, буква D, сокращение «det» или символ △.

важно помнить, что изменить числа в определителе невозможно.

Вычисление определителя матрицы третьего порядка: пример и решение по формуле

Определитель матрицы третьего порядка — это число, полученное из девяти заданных чисел, расположенных в квадратной таблице,

Определитель третьего порядка находится почти так же, как определитель второго порядка. Единственная разница в формуле. Поэтому, если вы хорошо ориентируетесь в формуле, проблем с решением не возникнет.

Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка. На основе этой матрицы мы понимаем, а значит, и получаются полные перестановки. Чтобы применить правильную формулу, вам нужно найти данные.

Нахождение матрицы третьего порядка по правилу треугольника (правило Саррюса)

Как упоминалось выше, элементы определителя 3-го порядка находятся в трех строках и трех столбцах. Если вы вводите общее обозначение элемента, первый элемент указывает номер строки, а второй элемент из индексов — номер столбца. Различают главную (элементы) и второстепенную (элементы) диагональ определителя. Члены справа называются членами определителя).

Можно видеть, что каждый член определителя находится в схеме только по одному элементу в каждой строке и в каждом столбце.

Определитель можно вычислить с помощью правила прямоугольника, которое отображается в виде диаграммы. Красным выделены члены определителя элементов главной диагонали, а также члены элементов, находящихся на вершине треугольников, которые с одной стороны параллельны главной диагонали (левая диаграмма), взятой со знаком.

Со знаком берутся элементы с синими стрелками от элементов боковой диагонали, а также от элементов, которые расположены в вершинах треугольников, стороны которых параллельны боковой диагонали (диаграмма справа.

В следующем примере мы узнаем, как вычислить определитель квадратной матрицы третьего порядка.

Пример

Задача

Вычислить определитель матрицы третьего порядка:

Решение

Рассчитываем определитель по формуле или схеме, рассмотренной выше.

Рекомендуется запомнить формулы для нахождения определителя матрицы второго и третьего порядка, так как они часто используются в тестах и ​​экзаменах.

Основные свойства определителей матрицы третьего порядка

Основываясь на предыдущих определениях и формулах, мы рассмотрим основные свойства определителя матрицы.

• Размер определителя не изменится при замене соответствующих строк и столбцов (такая замена называется транспонированием).

На примере убедимся, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.

Напомним формулу для вычисления определителя.

Переставьте матрицу.

Вычислите определитель транспонированной матрицы.

Мы убедились, что определитель транспортируемой матрицы равен исходной матрице, что указывает на правильное решение.

• Знак определителя изменится на противоположный, если в нем поменять местами два его столбца или две строки.

Возьмем пример:

Даны две матрицы третьего порядка (x).

необходимо показать, что определители этих матриц противоположны.

Решение

В матрице а в матрице
линии изменились (третья с первой и с первой на третью). Согласно второму свойству определители двух матриц должны отличаться знаком. То есть одна матрица с положительным знаком, а другая с отрицательным знаком, мы проверяем это свойство, применяя формулу для вычисления определителя.

• Определитель равен нулю, если ему соответствуют одинаковые элементы в двух строках (столбцах). Пусть в определителе есть те же элементы, что и в первом и втором столбцах.

Поменяв местами те же столбцы на основании свойства 2, мы получим новый определитель. С другой стороны, новый квалификатор такой же, как и исходный, поскольку одни и те же ответы являются элементами. Из этих равенств получаем.

• Определитель равен нулю, если все элементы строки (столбца) равны нулю. Это утверждение возникает из-за того, что каждый член определителя по формуле (1) имеет один и только один элемент для каждой строки (столбца), который имеет только нули.

Возьмем пример:

Докажем, что определитель матрицы равен нулю:

Наша матрица имеет два одинаковых столбца (второй и третий), поэтому на основе этого свойства определитель должен быть равен нулю. Давайте проверим:

Фактически, определитель матрицы с двумя идентичными столбцами равен нулю.

• Общий делитель элементов первой строки (столбца) вычитается за знаком определителя.
• Если элементы строки или столбца определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки (столбца), то этот определитель равен нулю.

Фактически после свойства 5 коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, а значит, можно использовать свойство 3.

• Если каждый из элементов строк (столбцов) определителя представляет собой сумму двух членов, то этот определитель можно представить как сумму соответствующих определителей.

Для проверки достаточно записать в развернутом виде в соответствии с (1) определитель, который находится слева от равенства, затем сгруппировать элементы, содержащие элементы, по отдельности. Каждая из полученных групп сумм будет первым и вторым определителями справа от равенства соответственно.

• Значения определения не изменятся, если соответствующие элементы второй строки (столбца), умноженные на то же число, будут добавлены к элементу строки или столбца.

Это равенство получается из свойств 6 и 7.

Отсюда следует алгебраическое дополнение матричного элемента. Используя это свойство, можно вычислять не только матрицы третьего порядка, но и матрицы более высокого порядка (x или x), что является рекурсивной формулой, необходимой для вычисления определителя матрицы любого порядка. Помните об этом, так как это часто используется на практике.

Надо сказать, что с помощью девятого свойства можно вычислять определители матриц не только четвертого, но и более высокого порядка. Однако в этом случае необходимо выполнить множество расчетных операций и быть внимательными, так как малейшая ошибка в признаках приведет к неверному решению. Матрицы более высокого порядка удобнее решать с помощью метода Гаусса и подробнее об этом позже.

• Определитель произведения матриц одного порядка равен произведению их определителей.

Возьмем пример:

Убедитесь, что определитель двух матриц и равен произведению их определителей. Даны две матрицы.

Решение

Сначала мы находим произведение определителей двух матриц. Теперь перемножим обе матрицы и вычислим определитель.

Свойства определителя матриц

1. Строки и столбцы определителя одинаковы, то есть значение определителя не изменится, если вы поменяете местами строки и столбцы, сохранив их порядок. Это называется переносом квалификатора. В соответствии с сформулированным свойством det A = det AT.
2. При обмене двумя строками (или двумя столбцами) определитель сохраняет свое абсолютное значение, но меняет знак на противоположный.
3. Определитель с двумя идентичными строками (или столбцами) равен нулю.
4. Умножение всех элементов строки (или столбца) определителя на число эквивалентно умножению определителя на число λ.
5. Если все элементы любой строки (или столбца) определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.
6. Если элементы определителя с двумя строками (или двумя столбцами) пропорциональны, то определитель равен нулю.
7. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя добавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на произвольный коэффициент λ, то значение определителя не изменится.
8. Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.
9. Если все элементы i-й строки определителя представить в виде суммы двух слагаемых aij = bj + cj, то определитель равен сумме двух определителей, в которой все строки, кроме i-й, совпадают с заданным определителем, i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, а в другом — из элементов cj. Аналогичное свойство верно и для определения столбцов.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: det (A * B) = det A * det B.

Для вычисления определителя любого порядка можно использовать метод последовательных уменьшений порядка определителя.

Для этого используйте детерминантное правило декомпозиции для элементов строки или столбца. Другой способ вычисления определителей состоит в использовании элементарных преобразований со строками (или столбцами), в основном в соответствии со свойствами 4 и 7 определителей, для приведения определителя к форме, когда он находится под главной диагональю определителя (определенным в то же время).

Кстати, как и для квадратных матриц) все элементы равны нулю. Тогда определитель равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.

При вычислении определителя путем последующего уменьшения порядка для уменьшения объема вычислительной работы рекомендуется использовать свойство определителя 7 для обнуления некоторых элементов любой строки или столбца определителя, что уменьшит количество алгебраических дополнений.

Правило Саррюса

Для расчета определителя методом Сарруса необходимо учесть определенные условия и выполнить следующие действия:

• добавьте первые два столбца слева от определителя;
• перемножьте элементы, которые находятся на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножьте элементы, расположенные на боковых диагоналях и параллельно им, взяв изделия со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33 = а11 × а22 × а33 + а31 × а12 × а23 + а21 × а32 × а13-а31 × а22 × а13-а21 × а12 × а33-а11 × а23 × а32

A = 134021-25-11302-25 = 1 × 2 × (-1) + 3 × 1 × (-2) + 4 × 0 × 5-4 × 2 × (-2) -1 × 1 × 5-3 × 0 × (-1) = — 2-6 + 0 + 16-5-0 = 3

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением Aij для элемента aij является минор Mij этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма индексов строки и столбца (i + j), на пересечении которых находится этот элемент, равна четное, и со знаком «-», если сумма индексов нечетная.

Нравится,

Для матрицы из предыдущего примера

A11 = (-1) (1 + 1) * (2 * 1 — (-4) * 0) = 2

A22 = (-1) (2 + 2) * (1 * 1-3 * 3) = -8

Нахождение определителя

Результатом поиска определителя матрицы является обычное число. Разберем самые популярные варианты.

Второй порядок

Пожалуй, это самая простая задача. Чтобы найти определитель матрицы два на два, используйте следующую формулу:

Пример 1:

Пример 2:

Примечание: не забывайте обращать внимание на знаки элементов массива и учитывать их при расчетах.

Третий порядок

Чтобы вычислить определитель матрицы три на три, используйте следующую формулу:

Пример:

| А | = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 — (-1) ⋅ 4 ⋅ 9-3 ⋅ 2 ⋅ (-6) — 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 144.

Как видим, формула длинная и ее сложно запомнить. Но есть особое правило Сарруса (или метод параллельных полос), благодаря которому не нужно ничего запоминать. Вот что это такое.

С правой стороны определителя складываем первый и второй столбцы, затем рисуем линии, как показано на рисунке ниже.

Множители, расположенные на красных диагоналях в формуле, участвуют со знаком плюс, синие — со знаком минус.

| А | = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 — a3b2c1 — b3c2a1 — c3a2b1

Как видим, это те же факторы, что и в первой формуле, но переставленные местами, что не влияет на результат. Таким образом, используя метод Сарруса, можно значительно снизить риск ошибки в процессе расчета.

Прикладное использование определителей

Детерминанты рассчитываются, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим несколько типов задач нахождения определителя матрицы.

1. Решение SLAE. Если определитель системы не равен нулю (Δ ≠ 0), система имеет решение.
2. При вычислении ранга матрицы также требуется наличие ненулевого минора (текущего определителя для i-й строки и j-го столбца.
3. Алгоритм поиска обратной матрицы включает вычисление определителя: если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует.
4. Определитель используется для вычисления площади треугольника: .
5. Значение определителя служит оценкой путем максимизации конкретного показателя трафика.
6. Знак определителя определяет вид функции (выпуклый или вогнутый) при вычислении матрицы Гессе.
7. Соотношение детерминант корреляционных матриц позволяет найти коэффициент множественной корреляции и коэффициент детерминации.

Иногда необходимо найти неизвестный параметр a, для которого определитель был бы равен нулю. Для этого необходимо составить уравнение для определителя (например по правилу треугольников) и, приравняв его к 0, вычислить параметр a.

1 1 2 3 а 1 1 0 -2

Воспользуемся разложением по первой строке:
Δ = 1 (a * (- 2) -0 * 1) -1 (3 * (- 2) -1 * 1) + 2 (3 * 0-1 * a) = -2a + 7-2a = -4a +7 = 0. Откуда a = 7/4

Пример. Найдите определитель матрицы:

А =

1 0 -2 3 2 1 1 2 -2

Найдите определитель, используя расширение столбца (первый столбец):
Меньше (1,1): удаляет первую строку и первый столбец матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

У нас есть:

1.1 =

2 1 2 -2

Находим определитель для этого минора. ∆1.1 = (2 • (-2) -2 • 1) = -6.

Мы определяем минор для (2,1): для этого мы исключаем вторую строку и первый столбец из матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

У нас есть:

2,1 =

0 -2 2 -2

Найдите определитель для этого второстепенного: Δ2.1 = (0 • (-2) -2 • (-2)) = 4. Незначительный для (3,1): удаляет 3-ю строку и 1-й столбец матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

У нас есть:

3,1 =

0 -2 2 1

Находим определитель для этого минора: 3.1 = (0 • 1-2 • (-2)) = 4
Главный определитель: ∆ = (1 • (-6) -3 • 4 + 1 • 4) = -14

Определитель находим с помощью разложения по строкам (из первой строки):
Меньше (1,1): удаляет первую строку и первый столбец матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

У нас есть:

1.1 =

2 1 2 -2

Найдите определитель для этого минора: ∆1.1 = (2 • (-2) -2 • 1) = -6. Меньше (1,2): удаляет первую строку и второй столбец матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

У нас есть:

2,1 =

3 1 1 -2

Вычисляем определитель этого минора: Δ1,2 = (3 • (-2) -1 • 1) = -7. И чтобы найти меньшее из (1,3), мы удаляем первую строку и третий столбец из матрицы.

1	0	-2
3	2	1
1	2	-2

У нас есть:

3,1 =

3 2 1 2

Находим определитель для этого минора. ∆1.3 = (3 • 2-1 • 2) = 4
Найдите главный определитель: ∆ = (1 • (-6) -0 • (-7) + (- 2 • 4)) = -14

Вычисление определителя для матриц 4×4, 5×5 и больших размерностей

Чтобы избежать вычислений, которые слишком велики для больших матриц, следует выполнить преобразования, описанные выше. Вот пара примеров.

Рассчитать Определить матрицу

Решение Используя седьмое свойство определителя, мы вычитаем третье из второй строки и из четвертой строки соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные соответственно на 3, 4, 5. Эти действия будут сокращены следующим образом : (2) — (13; (3) — (1) * 4; (4) — (1) * 5). Получаем:

Далее в соответствии с введенными обозначениями выполним действия: (3) — (2) * 8; (4) — (2) * 9. Получаем

Выполняем действия

У нас есть

Поскольку элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, следовательно, определение равно произведению элементов, расположенных на главной диагонали:

Вычислить определитель

Решение Обратите внимание, что второй столбец определителя уже содержит нулевой элемент. К элементам второй строки добавляем элементы первой строки, умноженные на -1, а к элементам четвертой строки — элементы первой строки, умноженные на 5. Получаем:

Раскладывая получившуюся, определяем вторую строку, которая у нас есть:

(Затем мы изменили множитель 2 первого столбца на основе свойства 4). Затем добавьте элементы определителя к элементам первого и второго столбцов. У нас есть:

Затем мы отметили множитель в первом столбце, а затем общий множитель (-1) в первой строке. Расширяя теперь получившуюся, определяя третий порядок по элементам второй строки, получаем:

Здесь определение второго порядка вычисляется по его определению по формуле

Вычисление определителя матрицы при помощи метода Гаусса

Напомним, как метод Гаусса помогает найти определитель матрицы: благодаря элементарному преобразованию в матрице все элементы (кроме) должны быть сведены к нулю. Однако этот метод подходит только для тех матриц, у которых определитель отличен от нуля. Об этом мы поговорим позже, а сейчас объясним, зачем проводится эта процедура.

Нулевые элементы нужны для простейшего расширения определителя на основе элементов первого столбца. После такого преобразования, исходя из девятого свойства, получается.

Вот минор первого порядка, который получается из матрицы исключение элементов первой строки и первого столбца. Эта процедура выполняется до тех пор, пока все элементы первого столбца не станут нулевыми.

Конечно, сразу возникает вопрос: «Как получить нулевые элементы?» Рассмотрим алгоритм решения:

Напомним, что значение определителя -й порядок равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на соответствующее алгебраическое дополнение.

Рассмотрим сначала формально записанный определитель четвертого порядка.

Удалив вторую строку и второй столбец, на пересечении которых расположен элемент, мы получим определитель третьего порядка, который называется второстепенным элемента и обозначается значком. Тогда это алгебраическое дополнение элемента. Определитель 4-го порядка может называться позиционированием по элементам, например по первому столбцу.

Чтобы было понятнее, проанализируем матрицу четвертого порядка, в которой нам нужно найти определитель:

Возьмем пример.
Пример 4

Задача

необходимо вычислить определитель матрицы высшего порядка
Решение

Для начала вспомним тему определителей третьего порядка и сбросим элементы первого столбца, принадлежащие строкам 2, 3, 4. Для этого добавим соответствующие элементы 1 и 2 строки. Вместо элементов
у нас есть. Чтобы получить первый столбец строки 3, мы умножаем на элементы первой строки и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки:

Умножаем элементы 1-го ряда и прибавляем к соответствующим элементам 4-го ряда.

Получен начальный определитель последующих преобразований.

Затем мы расширяем последний определитель за элементами первого столбца. Поскольку, и остальные элементы первого столбца — нули, мы получаем определитель 3-го порядка.

Способ «по-французски»: правило Саррюса

Самый простой способ запомнить.

Первые два столбца матрицы перезаписываются рядом справа с исходной матрицей, затем учитываются диагонали, образованные слева и справа.

Тройки произведений чисел розовых диагоналей пишутся со знаком плюс, а с голубыми — со знаком минуса.

Рисунок 2. Как рассчитать матрицу 3 на 3. Author24 — онлайн-обмен документами для студентов

Пример 2

Вычислите определитель $ M $ этим методом.

Решение:

$ Δ = (-1) cdot (-4) cdot 10 + 2 cdot 3 cdot (-5) + 5 cdot 7 cdot 0-2 cdot 7 cdot 10 — (-1) cdot 3 cdot 0-5 cdot (-4) cdot (-5) = 40-30 + 0-140-0-100 = 230$.

Вычисление определителя матрицы второго порядка

Очень часто на практике определитель матрицы решается методами второго, третьего и, реже, четвертого порядков. Рассмотрим, как вычисляется определитель матрицы второго порядка.

Произвольный размер матрицы

Разложение определителя по строке или столбцу

Первый вариант: определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения.

Примечание: для декомпозиции рекомендуется выбрать строку (столбец) с наибольшим числом элементов, равным нулю.

Пример: вычисляет определитель базовой матрицы.

Его определитель выглядит так:

Давайте решим пример, развернув в первом столбце.

Теперь мы можем вычислить определитель:

| А | = 3 ⋅ 1 ⋅ ((-2) ⋅ 9) — 6 ⋅ 4) + 0 ⋅ (-1) ⋅ (5 ⋅ 9 — 6 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ (5 ⋅ 4 — (-2) ⋅ 1)
| А | = 3 (-42) + 0 + 2 ⋅ 22 = -126 + 44 = -82

Приведение матричной таблицы к треугольной

В этом методе нужно получить матрицу, элементы которой выше или ниже главной диагонали равны нулю.

Пример 3

Найдите определитель M, получив треугольную матрицу.

Решение:

Вспомните свойство определителя: из любой строки или столбца вы можете извлечь общий множитель для этой строки или столбца.

Вот потому что:

$ begin {array} {| ccc |} -1 & 2 & 5 7 & -4 & 3 -5 & 0 & 10 end {array} = begin {array} {| ccc | } -1 & 2 & 5 7 & -4 & 3 -1 cdot 5 & 0 cdot 5 & 2 cdot 5 end {array} = 5 cdot begin {array} {| ccc |} -1 & 2 & 5 7 & -4 & 3 -1 & 0 & 2 end {array} = 5 cdot begin {array} {| ccc |} -1 & 1 cdot 2 & 5 7 & -2 cdot 2 & 3 -1 & 0 cdot 2 & 2 end {array} = 10 cdot begin {array} {| ccc |} -1 & 1 & 5 7 & -2 & 3 -1 & 0 & 2 end {array}$.

Теперь трансформируем получившуюся таблицу, для этого начинаем обнулять элементы крайнего левого столбца. Для удобства строки будут записаны как (n), где n — номер строки.

• (2) $ cdot frac17 $ + (3), запишите результат в третью строку:

$ begin {array} {| ccc |} -1 & 1 & 5 7 & -2 & 3 0 & — frac27 & frac {17} {7} end {array}$ ;

•  (1) $ cdot 7 $ + (2), запишем результат во вторую строку:

$ begin {array} {| ccc |} -1 & 1 & 5 0 & 5 & 38 0 & — frac27 & frac {17} {7} end {array}$ ;

•  (2) $ cdot frac {2} {35} $ + (3) $, мы пишем в третьем:, мы пишем в 3:

$ begin {array} {| ccc |} -1 & 1 & 5 0 & 5 & 38 0 & 0 & frac {23} {5} end {array}$ ;

У нас получилась матрица нужного типа. Рассчитаем $ D$:

$ Δ = 10 cdot (-1) cdot 5 cdot frac {23} {5} = -230$.

При использовании этого метода обращайте пристальное внимание на знаки и порядок расчетов.

Теперь вы можете решать матричные определители наиболее распространенными способами.

Приведение матрицы к треугольному виду, преобразование матрицы, облегчающее вычисление определителя

Приведенные ниже методы нецелесообразны для использования для матриц 3 × 3, но предлагаю рассмотреть суть методов на простом примере. Воспользуемся матрицей, для которой мы уже вычислили определитель: нам будет проще проверить правильность расчетов:

Используя седьмое свойство определителя, вычтите третье из второй строки, умноженное на 2:

из третьей строки вычитаем соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные на 3:

дальше от третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на -3:

Поскольку элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, следовательно, определение равно произведению элементов, расположенных на главной диагонали:

1 * 2 * (-26) = -52.

Как видите, ответ совпал с полученными ранее.

Напомним формулу определителя матрицы:

Определитель — это сумма алгебраических дополнений, умноженная на элементы одной из строк или одного из столбцов.

Если в результате преобразований мы сделаем одну из строк (или столбцов) полностью состоящей из нулей, за исключением одной позиции, то нам не нужно будет подсчитывать все алгебраические дополнения, поскольку они обязательно будут равны нулю. Как и предыдущий метод, рекомендуется использовать этот метод для больших массивов.

Покажем пример на той же матрице:

Обратите внимание, что второй столбец определителя уже содержит нулевой элемент. Добавьте элементы первой строки, умноженные на -1, к элементам второй строки. У нас есть:

Вычисляем определитель для второго столбца. Нам просто нужно вычислить одно алгебраическое дополнение, так как остаток обязательно сводится к нулю:

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицы 4-го порядка, вы можете использовать один из двух методов:

• разложение по линейным элементам;
• разложение на элементы столбца.

Представленные методы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 благодаря представлению определителя суммы произведений элементов строки (столбца) их алгебраическими дополнениями.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

det A = ai1 × Ai1 + ai2 × Ai2 +… + ain × Ain

Разложение матрицы на элементы столбцов:

det A = a1i × A1i + a2i × A2i +… + ani × Ani

Комментарий

Если вы расширяете массив элементами строки (столбца), вам нужно выбрать строку (столбец), в которой есть нули.

Пример 5

А = 01-132100-24513210

Решение:

• разбиваем на 2-ю строку:

A = 01-132100-24513210 = 2 × (-1) 3 × 1-13-251310 = -2 × 1-13451210 + 1 × 0-13-251310

• располагаем по 4-му столбику:

A = 01-132100-24513210 = 3 × (-1) 5 × 210-245321 + 1 × (-1) 7 × 01-1210321 = -3 × 210-245321-1 × 01-1210321

Методы вычисления определителей третьего порядка

Существуют такие правила вычисления определителей третьего порядка.

Правило треугольника

Схематично это правило можно представить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, соединенных линиями, берется со знаком плюс; аналогично для второго определителя соответствующие произведения берутся со знаком минус, то есть

$$ left | begin {array} {ccc} {a_ {11}} & {a_ {12}} & {a_ {13}} {a_ {21}} & {a_ {22}} & {a_ {23}} {a_ {31}} & {a_ {32}} & {a_ {33}} end {array} right | = a_ {11} a_ {22} a_ {33} + a_ {12} a_ {23} a_ {31} + a_ {13} a_ {21} a_ {32}-$

$$ — a_ {11} a_ {23} a_ {32} -a_ {12} a_ {21} a_ {33} -a_ {13} a_ {22} a_ {31}$

Пример

Упражнение. Вычислить определитель $ left | begin {array} {rrr} {3} & {3} & {-1} {4} & {1} & {3} {1} & {-2} & {-2} end {array} right | $ методом треугольника.

Решение. $ left | begin {array} {rrr} {3} & {3} & {-1} {4} & {1} & {3} {1} & {-2} & {-2} end {array} right | = 3 cdot 1 cdot (-2) +4 cdot (-2) cdot (-1)+$

$$ + 3 cdot 3 cdot 1 — (- 1) cdot 1 cdot 1-3 cdot (-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot (-2) = 54$

Отвечать. $ left | begin {array} {rrr} {3} & {3} & {-1} {4} & {1} & {3} {1} & {-2} & {-2} end {array} right | = 54 доллара США

Правило Саррюса

Справа от определителя складываются первые два столбца и со знаком плюс берутся произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, параллельных ей; и произведения элементов боковой диагонали и параллельных ей диагоналей со знаком минус»:

$$ — a_ {13} a_ {22} a_ {31} -a_ {11} a_ {23} a_ {32} -a_ {12} a_ {21} a_ {33}$

Пример

Упражнение. Вычислить определитель $ left | begin {array} {rrr} {3} & {3} & {-1} {4} & {1} & {3} {1} & {-2} & {-2} end {array} right | $ по правилу Сарруса.

Решение.

$$ + (- 1) cdot 4 cdot (-2) — (- 1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot (-2) -3 cdot 4 cdot (-2) = 54 доллара США

Отвечать. $ left | begin {array} {rrr} {3} & {3} & {-1} {4} & {1} & {3} {1} & {-2} & {-2} end {array} right | = 54 доллара США

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают строку / столбец, где есть нули. Линия или столбец, по которому выполняется разложение, будет обозначен стрелкой.

Пример

Упражнение. Раскрывая первую строку, вычисляем определитель $ left | begin {array} {lll} {1} & {2} & {3} {4} & {5} & {6} {7} & {8} & {9} end {array} right|$

Решение. $ left | begin {array} {lll} {1} & {2} & {3} {4} & {5} & {6} {7} & {8} & {9} end {array} право | стрелка влево = a_ {11} cdot A_ {11} + a_ {12} cdot A_ {12} + a_ {13} cdot A_ {13}=$

$ 1 cdot (-1) ^ {1 + 1} cdot left | begin {array} {cc} {5} & {6} {8} & {9} end {array} right | +2 cdot (-1) ^ {1 + 2} cdot left | begin {array} {cc} {4} & {6} {7} & {9} end {array} right | +3 cdot (-1) ^ {1 + 3} cdot left | begin {array} {cc} {4} & {5} {7} & {8} end {array} right | = -3 + 12-9 = 0 руб$

Отвечать. $ left | begin {array} {lll} {1} & {2} & {3} {4} & {5} & {6} {7} & {8} & {9} end {array} право | = $ 0

Этот метод позволяет свести вычисление определителя к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Упражнение. Вычислить определитель $ left | begin {array} {lll} {1} & {2} & {3} {4} & {5} & {6} {7} & {8} & {9} end {array} right|$

Решение. Выполняем следующие преобразования строк определителя: вычитаем первые четыре из второй строки и из третьей первую строку умножаем на семь, следовательно, исходя из свойств определителя, получаем определитель, равный заданному один.

$$ left | begin {array} {ccc} {1} & {2} & {3} {4} & {5} & {6} {7} & {8} & {9} end {array} право | = left | begin {array} {ccc} {1} & {2} & {3} {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} { 7-7 cdot 1} и {8-7 cdot 2} и {9-7 cdot 3} end {array} right|=$

$$ = left | begin {array} {rrr} {1} & {2} & {3} {0} & {-3} & {-6} {0} & {-6} & {-12} конец {массив} right | = left | begin {array} {ccc} {1} & {2} & {3} {0} & {-3} & {-6} {0} & {2} cdot (-3)} & {2 cdot (-6)} end {array} right | = $ 0

Определитель равен нулю, потому что вторая и третья строки пропорциональны.

Отвечать. $ left | begin {array} {lll} {1} & {2} & {3} {4} & {5} & {6} {7} & {8} & {9} end {array} право | = $ 0

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо расширение строки / столбца, либо приведение к треугольной форме, либо используется теорема Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Упражнение. Вычислить определитель $ left | begin {array} {llll} {9} & {8} & {7} & {6} {5} & {4} & {3} & {2} {1} & {0} & {1} & {2} {3} & {4} & {5} & {6} end {array} right | $, расширяя его до элементов нескольких строк или столбцов.

Решение. Сначала мы выполняем элементарные преобразования в строках определителя, делая как можно больше нулей как в строке, так и в столбце. Для этого сначала вычтем девять третей из первой строки, пять третей из второй и три трети из четвертой, получим:

$$ left | begin {array} {cccc} {9} & {8} & {7} & {6} {5} & {4} & {3} & {2} {1} & {0} & {1} & {2} {3} & {4} & {5} & {6} end {array} right | = left | begin {array} {cccc} {9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} {1} & {0} & {1} & {2} {0} & {4} & {2} & {0} end {array} right | = left | begin {array} {rrrr} {0} & {8} & {-2} & {-12} {0} & {4} & {-2} & {-8} {1} & {0} & {1} & {2} {0} & {4} & {2} & {0} end {array} right|$

Полученный определитель раскладывается по элементам первого столбца:

$$ left | begin {array} {rrrr} {0} & {8} & {-2} & {-12} {0} & {4} & {-2} & {-8} {1} & {0} & {1} & {2} {0} & {4} & {2} & {0} end {array} right | = 0 + 0 + 1 cdot (-1) ^ {3 + 1} cdot left | begin {array} {rrr} {8} & {-2} & {-12} {4} & {-2} & {-8} {4} & {2} & {0} конец {массив} right | + 0$

Полученный определитель третьего порядка также расширяется с точки зрения элементов строки и столбца, имея ранее полученные нули, например, в первом столбце. Для этого вычтите две вторые строки из первой и вторую из третьей:

$$ left | begin {array} {rrr} {8} & {-2} & {-12} {4} & {-2} & {-8} {4} & {2} & {0} конец {массив} right | = left | begin {array} {rrr} {0} & {2} & {4} {4} & {-2} & {-8} {0} & {4} & {8} end { массив} right | = 4 cdot (-1) ^ {2 + 2} cdot left | begin {array} {ll} {2} & {4} {4} & {8} end {array} right|=$

$$ = 4 cdot (2 cdot 8-4 cdot 4) = 0$

Отвечать. $ left | begin {array} {cccc} {9} & {8} & {7} & {6} {5} & {4} & {3} & {2} {1} & {0} & {1} & {2} {3} & {4} & {5} & {6} end {array} right | = $ 0

Комментарий

Последний и предпоследний определители не могли быть вычислены, но быстро пришли к выводу, что они равны нулю, поскольку они содержат пропорциональные строки.