Исследовать ряд на сходимость

Определение сходимости ряда. Сумма ряда

Числовой ряд называется сходящимся, если его частичная сумма имеет предел в. Значение называется суммой ряда, а число — остатком ряда. Если предел не существует, серия называется расходящейся.

Исследуйте сходимость ряда, рассматривая последовательность его частичных сумм. В случае сходимости найдите сумму ряда.

Решение

Преобразуем выражение под знаком плюс. Этот ряд представляет собой сумму геометрических прогрессий со знаменателями, и ряд сходится

Задачи на радикальный признак Коши

  • Пример 1. Исследование сходимости ряда

Решение. Применяем радикальный критерий Коши — находим предел корня n-й степени общего члена ряда. Напомним правило преобразования в степень n-го корня из выражения под корнем: в полученном выражении степень выражения под корнем делится на мощность корня:

Поскольку полученный предел меньше единицы (), этот ряд сходится.

  • Пример 2. Исследование сходимости ряда

Решение. Применяем радикальный критерий Коши: находим предел. В выражении, полученном после преобразования в степень корня n-й степени, выражение под корнем n делится на n, поэтому мы сразу получаем радикальное выражение в первой степени:

Поскольку полученный предел меньше единицы (), этот ряд сходится.

Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 3. Исследование сходимости ряда
  • Пример 4. Узнайте, сходится ли ряд или расходится

Решение. Применяем радикальный критерий Коши — находим предел:

Поскольку предел меньше единицы (), то по радикальному критерию Коши этот ряд сходится.

  • Пример 5. Узнайте, сходится ли ряд или расходится

Решение. Применяем радикальный критерий Коши — находим предел:

Поскольку предел больше единицы (), то согласно радикальному критерию Коши этот ряд расходится.

Признаки сходимости и расходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости и критерий Коши

Если ряд сходится, то

Обратное неверно

Критерий Коши

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного числа можно было выбрать такое, чтобы для любого положительного числа выполнялось неравенство

Сходимость или расхождение ряда не нарушается, если мы добавляем или отбрасываем конечное число его членов.

  • Пример 2

Исследуем ряд на сходимость:

Решение

Используем необходимый критерий сходимости:

Требуемый критерий сходимости не выполняется — ряд расходится.

Признак сравнения

Если, начиная с нескольких, и ряд сходится, то и ряд сходится. Если линия (**) расходится, линия (*) также расходится (*).

В качестве серии сравнений стоит, в частности, выбрать сходящуюся и расходящуюся геометрическую прогрессию, а также гармонический ряд, состоящий из числа расходящихся.

Предельный признак сравнения

Если существует конечный и ненулевой предел (в частности, если, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

  • Пример 4

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Следовательно, ряды расходятся одновременно, поскольку найденный предел конечен и не равен нулю.

Признак Даламбера

Пусть (начиная с нескольких) и есть предел. Тогда ряд сходится, если и расходится, если. Если, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Мы используем знак Даламбера. Серия сходится.

Признак Коши

Пусть (начиная с нескольких) и есть предел. Тогда ряд сходится, если и расходится, если. Если, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Мы используем тест Коши. Сериал расходится.

Оцените статью
Блог про прикладную математику