Интеграл для чайников: как его найти и решать уравнения с ним

Но сначала: что такое функция

Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них.

Функцию можно представить как «коробку с математикой». У тебя есть какая-то масса математических операций, ты их «запаковываешь» в функцию. Теперь ты можешь эту массу операций вызывать в своих математических выражениях одним действием.

У функции есть один или несколько аргументов — это те числа, к которым нужно применить массу математических операций. Можно представим, что мы засунули это число в коробку с математикой, потрясли и получили на выходе другое число.

Из школы вы наверняка помните функции sin() и cos() — синус и косинус. На вход им подаётся какое-то число, это число насилуют по теореме Пифагора, а на выходе получается дробное число от –1 до 1.

Функции можно засовывать в другие функции. Например, возьмём новую функцию f(x) и положим в неё выражение sin(x) + cos(x). Это будет работать так:

1. Берется значение x.
2. Считается синус x.
3. Считает косинус x.
4. Результаты складываются.
5. Результат сложения отдаётся туда, где была вызвана функция.

Если посчитать f(x) для одного числа, получится другое число. Если посчитать f(x) от 100 чисел, получится 100 других чисел. А если непрерывно считать f(x) для бесконечного количества чисел, то получится бесконечное количество других чисел.

Если поставить эти числа по возрастанию x, то можно построить график функции y = f(x). Это означает, что по горизонтали мы имеем все возможные значения x, а по вертикали — результат вычисления функции f(x). Если каждый результат отметить точкой, получится линия:

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

• вычисление площади фигуры.
• вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
• определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
• и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Обозначение интеграла

Знак определённого интеграла:

Знак неопределённого интеграла: ∫

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интегралматематическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интегралпростыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Основные свойства интегралов

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

 

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Таблица первообразных для решения интегралов

Основные приемы решения интегралов:

Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.

Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.

Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

• Замена переменной.
  
  Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.
• Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.
  
  Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.
• Интегрирование дробно-рациональных функций.
  

1. разложить дробь на простейшие
   
2. выделить полный квадрат.
   
3. создать в числителе дифференциал знаменателя.

• Интегрирование дробно-иррациональных функций.
  

1. выделить под корнем полный квадрат
   
2. создать в числителе дифференциал подкоренного выражения.

• Интегрирование тригонометрических функций.
  
  При интегрировании выражений вида
  применяет формулы разложения для произведения.
  Для выражений
  
  m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin2+cos2=1
  m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2
  Для выражений вида:
  
  — Применяем свойство tg2x=1/cos2x — 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:

Алгоритм обучения решению интегралов:

1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первообразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.

Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференцируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф(x, y)=0, которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у  выражать через аргумент х  явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х, который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F(x,y,y’,y»,…,y(n)) для всех х, при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Пример 3

Функции y=∫xdx или y=x22+1 можно назвать решением дифференциального уравнения y’=x.

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Пример 4

Функция y=x33 является решением ДУ y’=x2. Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y’=x33=13·3×2=x2.

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y=x33+1. Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Пример 5

Общее решение дифференциального уравнения y’=x2 имеет вид y=∫x2dx или y=x33+C, где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y=x33+C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С=0 и C=1.

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Пример 6

Для ДУ y’=x2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y(1)=1, будет y=x33+23. Действительно, y’=x33+23’=x2 и y(1)=133+23=1.

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f(x0)=f0; f'(x0)=f1;f»(x0)=f2;…;f(n-1)(x0)=fn-1

где f0; f1; f2; …; fn-1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x0 и x1, которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f(x0)=f0, f(x1)=f1 , где f0 и f1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n-ого порядка имеет вид:

fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

При этом коэффициенты f0(x); f1(x); f2(x); …; fn(x) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение fn(x)·y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f(x)≡0. Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f0(x)=f0; f1(x)=f1; f2(x)=f2; …; fn(x)=fn  могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f(x)≡0, в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f(x) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n-ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n-ой степени вида fn·kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0.

Общие правила интегрирования функций

∫

cf(x) dx = c

∫

f(x) dx

∫

[ f(x) + g(x)] dx =

∫

f(x) dx +

∫

g(x) dx

∫

[ f(x) — g(x)] dx =

∫

f(x) dx —

∫

g(x) dx

∫

f(x)g(x) dx = f(x)

∫

g(x) dx —

∫∫

g(x) dxdf(x)

Интегралы от рациональных функций

1.	∫ xn dx = xn+1n + 1 + C      (n ≠ -1)
2.	∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n+1a(n + 1) + C      (n ≠ -1)
3.	∫ dxx = ln |x| + C
4.	∫ dxax + b = 1a ln |ax + b| + C
5.	∫ ax + bcx + ddx = acx + bc — adc2 ln |cx + d| + C
6.	∫ dx(x + a)(x + b) = 1a — b ln |x + bx + a| + C
7.	∫ dxx2 — a2 = 12a ln |x — ax + a| + C
8.	∫ x dx(x + a)(x + b) = 1a — b (a ln |x + a| — b ln|x + b|) + C
9.	∫ x dxx2 — a2 = 12 ln |x2 — a2| + C
10.	∫ dxx2 + a2 = 1a arctg (xa) + C
11.	∫ x dxx2 + a2 = 12 ln |x2 + a2| + C
12.	∫ dx(x2 + a2)2 = 12a2xx2 + a2 + 12a3 arctg (xa) + C
13.	∫ x dx(x2 + a2)2 = -121×2 + a2 + C
14.	∫ x dx(x2 + a2)3 = -141(x2 + a2)2 + C
15.	∫ dxax2 + bx + c = 1b2 — 4ac ln2ax + b — b2 — 4ac2ax + b + b2 — 4ac + C     (b2 — 4ac > 0)
16.	∫ dxax2 + bx + c = 14ac — b2 arctg2ax + b4ac — b2 + C     (b2 — 4ac < 0)
17.	∫ x dxax2 + bx + c = 12a ln|ax2 + bx + c| — b2a ∫ dxax2 + bx + c
18.	∫ x dxax + b = 1a2(ax + b — b ln |ax + b|) + C
19.	∫ x2dxax + b = 1a3(12(ax + b)2 -2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|) + C
20.	∫ dxx(ax + b) = 1b ln ax + bx + C
21.	∫ dxx2(ax + b) = — 1bx + ab2 ln ax + bx + C
22.	∫ x dx(ax + b)2 = 1a2(ln |ax + b | + bax + b) + C
23.	∫ x2dx(ax + b)2 = 1a3(ax + b — 2b ln |ax + b | — b2ax + b) + C

Интегралы от трансцендентных функций

1.	∫ ex dx = ex + C
2.	∫ ax dx = axln a + C
3.	∫ dxx ln x = ln |ln x| + C
4.	∫ xn ln xdx = xn + 1(ln xn + 1 — 1(n + 1)2) + C
5.	∫ eax ln xdx = eax ln xa — 1a ∫ eaxxdx
6.	∫ xn lnmxdx = xn + 1n + 1 lnmx — mn + 1 ∫ xn lnm — 1xdx
7.	∫ xnlnmxdx = -xn + 1(m — 1) lnm — 1x + n + 1m — 1 ∫ xnlnm — 1xdx
8.	∫ ln x dx = x ln x — x + C
9.	∫ arcsin x dx = x arcsin x + 1 — x2 + C
10.	∫ arctg x dx = x arctg x — ln 1 + x2 + C
11.	∫ eax dx = eaxa + C
12.	∫ x eax dx = eaxa2(ax — 1) + C
13.	∫ axxn dx = ax(n — 1)xn — 1 + ln an — 1 ∫ axxn — 1
14.	∫ sh(x) dx = ch(x) + C
15.	∫ ch(x) dx = sh(x) + C

Интегралы от иррациональных функций

1.	∫ dxax + b = 2aax + b + C
2.	∫ ax + bdx = 23a(ax + b)1.5 + C
3.	∫ x dxax + b = 2(ax — 2b)3a2ax + b + C
4.	∫ xax + bdx = 2(3ax — 2b)15a2(ax + b)1.5 + C
5.	∫ dx(x + c)ax + b = 1b — ac lnax + b — b — acax + b + b — ac + C     (b — ac > 0)
6.	∫ dx(x + c)ax + b = 1ac — b arctgax + bac — b + C     (b — ac < 0)
7.	∫ ax + bcx + ddx = 1c(ax + b)(cx + d) — ad — bccac arctg a(cx + d)c(ax + b) + C
8.	∫ dxxax + b = 1b lnax + b — bax + b + b + C     (b > 0)
9.	∫ dxxax + b = 1-b arctgax + b-b + C     (b < 0)
10.	∫ dxx2ax + b = -ax + bbx — a2b ∫ dxxax + b
11.	∫ ax + bxdx = 2ax + b + b ∫ dxxax + b
12.	∫ a — xb + xdx = (a — x)(b + x) + (a + b)arcsinx + ba — x + C
13.	∫ a + xb — xdx = -(a + x)(b — x) — (a + b)arcsinb — xa + x + C
14.	∫ dxax2 + bx + c = 1a ln|2ax + b + a(ax2 + bx + c)| + C
15.	∫ dxax2 + bx + c = -1a arcsin2ax + bb2 — 4ac + C
16.	∫ ax2 + bx + cdx = 2ax + b4aax2 + bx + c + 4ac — b28a ∫ dxax2 + bx + c
17.	∫ x2 + a2dx = x2x2 + a2 + a22 ln |x + x2 + a2| + C
18.	∫ x2 — a2dx = x2x2 — a2 — a22 ln |x + x2 — a2| + C
19.	∫ dxx2 + a2 = ln|x + x2 + a2)| + C
20.	∫ dxx2 — a2 = ln|x + x2 — a2)| + C
21.	∫ x dxx2 + a2 = x2 + a2 + C
22.	∫ x2 — a2xdx = x2 — a2 + a arcsin (xa) + C
23.	∫ a2 — x2dx = x2a2 — x2 + a22 arcsin (xa) + C
24.	∫ a2 — x2xdx = a2 — x2 + a ln (xa + a2 — x2) + C
25.	∫ dxa2 — x2 = arcsin (xa) + C
26.	∫ x dxa2 — x2 = -a2 — x2 + C
27.	∫ dxxa2 — x2 = 1a ln |xa + a2 — x2| + C

Интегралы от тригонометрических функций

1.	∫ sin (x) dx = -cos (x) + C
2.	∫ cos (x) dx = sin (x) + C
3.	∫ sin2 (x) dx = x2 — 14 sin (2x) + C
4.	∫ cos2 (x) dx = x2 + 14 sin (2x) + C
5.	∫ sinn (x) dx = -1n sinn — 1 (x) cos (x) + n — 1n ∫ sinn — 2 (x) dx
6.	∫ cosn (x) dx = 1n cosn — 1 (x) sin (x) + n — 1n ∫ cosn — 2 (x) dx
7.	∫ dxsin (x) = ln|tg(x2)| + C
8.	∫ dxcos (x) = ln|ctg(x2)| + C
9.	∫ dxsin2 (x) = -ctg (x) + C
10.	∫ dxcos2 (x) = tg (x) + C
11.	∫ sin (x) cos (x) dx = -14cos (2x) + C
12.	∫ sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
13.	∫ sin (x) cos2 (x) dx = -13cos3 (x) + C
14.	∫ sin2 (x) cos2 (x) dx = -18x — 132sin (4x) + C
15.	∫ tg (x) dx = -ln |cos (x)| + C
16.	∫ ctg (x) dx = ln |sin (x)| + C
17.	∫ sin (x)cos2 (x)dx = 1cos (x) + C
18.	∫ cos (x)sin2 (x)dx = -1sin (x) + C
19.	∫ sin2 (x)cos2 (x)dx = tg (x) — x + C
20.	∫ cos2 (x)sin2 (x)dx = -ctg (x) — x + C
21.	∫ sin2 (x)cos (x)dx = ln|ctg(x2)| — sin (x) + C
22.	∫ cos2 (x)sin (x)dx = ln|tg(x2)| + cos (x) + C
23.	∫ dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + C
24.	∫ dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + C
25.	∫ dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + C
26.	∫ dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) — ctg(x) + C
27.	∫ dxsinn (x) = -1n — 1cos (x)sinn — 1 (x) + n — 2n — 1 ∫ dxsinn — 2 (x)
28.	∫ tgn (x) dx = tgn — 1 (x)n — 1 — ∫ tgn — 2 (x) dx
29.	∫ ctgn (x) dx = -ctgn — 1 (x)n — 1 — ∫ ctgn — 2 (x) dx
30.	∫ sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.	∫ cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.

Сравниваем с таблицей. В таблице нет.Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.

Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.

Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 — 5, dx = (t5 — 5)’ = 5t4. Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Решение интеграла:

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэффициент 1/2 перед интегралом получился в результате замены dx на 1/2*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и 1/2*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

Первообразная функция

Это функция, у которой производная функция равна исходной.

Функция F(x) является первообразной для производной функции f(x), если выполняется равенство F'(x) = f(x) (в диапазоне I).

Например:

• F(x) = cos x — это первообразная функции f(x) = – sin x, т. к. (cos x)’ = – sin x;
• F(x) = x³ — это первообразная функции f(x) = 3x², т. к. (x³)’ = 3x².

Важная деталь, о которой нужно помнить: первообразные функции не являются единственными! В предыдущем примере первообразная функции 3x² равна x³, но x³ + 1 также является первообразной той же функции (3x²), потому что (x³ + 1)’= 3x².

Это означает, что неопределённый интеграл функции f является множеством всех её первообразных функций и представлен так:

∫ f(x) dx= F(x) + C,

где С — произвольная постоянная.

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл—одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенного интеграла.

Пусть на отрезке
задана непрерывная функция
(рис. 210 и 211). Обозначим через и ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Разобьем отрезок на частей точками деления причем и положим
Обозначим, далее, наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке через и на отрезке через и ..на отрезке через и Составим суммы

Сумму
называют нижней интегральной суммой, а сумму
—верхней интегральной суммой.

Если
то нижняя инте;ральная сумма численно равняется площади «вписанной ступенчатой фигуры»

ограниченной «вписанной» ломаной, верхняя интегральная сумма численно равняется площади «описанной ступенчатой фигуры»

ограниченной «описанной» ломаной.

Отметим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм.

• Так как
  для любого
  то на основании формул (1) и (2) имеем

(Знак равенства будет только в случае, если

• Так как
  где
  —наименьшее значение
  на
  то

Итак,

• Так как
  где
  — наибольшее значение
  на
  то

Итак,

Соединяя вместе полученные неравенства, имеем

Если то последнее неравенство имеет простой геометрический смысл (рис. 212), так как произведения и
соответственно численно равны площадям «вписанного» прямоугольника и «описанного» прямоугольника