Графики тригонометрических функций: основные свойства

Определение тригонометрических функций.

Тригонометрические функции изначально связывались с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. У них есть только один аргумент угол (1-н из острых углов треугольника).

Соотношения сторон и их связь с функциями:

• Синус — противолежащий катет к гипотенузе.
• Косинус — прилежащий катет к гипотенузе.
• Тангенс — противолежащий катет к прилежащему.
• Котангенс — прилежащий катет к противолежащему.
• Секанс — гипотенуза к прилежащему катету.
• Косеканс — гипотенуза к противолежащему катету.

Благодаря этим определениям легко вычислять значение функций для острых углов, т.е. в интервале 0 — 90° (0 — π/2 рад.).

Свойства тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Рис.1. Знак sin α	Рис.2. Знак cos α
Рис.3. Знак tg α	Рис.4. Знак ctg α

Рис.1. Знак sin α

Рис.2. Знак cos α

Рис.3. Знак tg α

Рис.4. Знак ctg α

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y).

• Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A1(x , y). sin α=y

• Косинус (cos) угла поворота

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A1(x , y). cos α=х

• Тангенс (tg) угла поворота

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

• Котангенс (ctg) угла поворота

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом.  Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α.

Тангенс определен для всех углов, кроме α=90°+180°·k, k∈Z (α=π2+π·k, k∈Z)

Котангенс определен для всех углов, кроме α=180°·k, k∈Z (α=π·k, k∈Z)

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α». Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

• Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

• Косинус (cos) числа t

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

• Тангенс (tg) числа t

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Свойства синуса

• Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
• Множество значений — интрервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
• Функция y=sin(α) — нечетная: sin(−α)=−sinα.
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: sin(α+2π)=sin(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈ Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (2πn+0;π+2πn),n∈Z и y<0 при (π+2πn;2π+2πn),n∈Z.
• Функция является непрерывной и у нее есть производная с любым значением аргумента: (sinα)′=cosα.
• Функция y=sinα возрастает при α∈(−π/2+2πn;π/2+2πn) n∈Z, и убывает при α∈(π2+2πn;3π2+2πn), n∈Z.
• Минимум функции при α=−π/2+2πn, n∈Z, а максимум при α=π/2+2πn, n∈Z.

Свойства косинуса

• Область определения функции — множество всех действительных чисел: D(y)=R.
• Множество значений — интервал [−1; 1]: E(y) = [−1;1].
• Функция y=cos(α) — четная: cos(−α)=cosα.
• Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период соответствует 2π: cos(α+2π)=cos(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (−π/2+2πn;π/2+2πn),n∈Z и y<0 при (π/2+2πn;3π/2+2πn),n∈Z.
• Функция является непрерывной, у нее есть производная с любым значением аргумента: (cosα)′=−sinα.
• Функция y=cosα возрастает при α∈(−π+2πn;2πn),n∈Z, и убывает при α∈(2πn;π+2πn),n∈Z.
• У функции есть минимум при α=π+2πn,n∈Z, а максимум при α=2πn,n∈Z.

Свойства тангенса

• Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=π/2+πn.
• Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
• Функция y=tg(α) — нечтная: tg(−α)=−tg α.
• Функция оказывается периодической, самый маленький неотрицательный период соответствует π: tg(α+π)=tg(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=πn,n∈Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (−π/2+πn;πn),n∈Z.
• Функция является непрерывной, есть производная с любым значением аргумента из области определения: (tgx)′=1/cos2x.
• Функция y=tg α возрастает при α∈(−π/2+πn;π/2+πn),n∈Z.

Свойства котангенса

• Область определения функции — множество действительных чисел: D(y)=R, исключая числа α=πn.
• Множество значений — множество действительных чисел: E(y)=R.
• Функция y=ctg(α) — нечетная: ctg(−α)=−ctg α.
• Функция периодическая, самый маленький неотрицательный период равен π: ctg(α+π)=ctg(α).
• График функции пересекает ось Ох при α=π/2+πn,n∈Z.
• Промежутки знакопостоянства: y>0 при (πn;π/2+πn),n∈Z и y<0 при (π/2+πn;π(n+1)),n∈Z.
• Функция является непрерывной, есть производная в любом значении аргумента из области определения: (ctgx)′=−1/sin2x.
• Функция y=ctg α убывает при α∈(πn;π(n+1)),n∈Z.

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Рис.7

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,откуда вытекают формулы:tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

Формулы приведения

По этим формулам значение тригонометрической функции аргумента a, где p/2 < a < 2p, можно привести к значению функции аргумента a, где 0 < a < p/2, как той же, так и дополнительной к ней.

Аргумент b Функция	– a	+ a	p – a	p + a	+ a	+ a	2p – a
sin b	cos a	cos a	sin a	–sin a	–cos a	–cos a	–sin a
cos b	sin a	–sin a	–cos a	–cos a	–sin a	sin a	cos a

Поэтому в таблицах тригонометрических функций даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. При приведении функции от аргумента вида kp/2 ± a, где k – целое число, к функции от аргумента a:

1. название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;
2. знак в правой части совпадает со знаком приводимой функции в точке kp/2 ± a, если угол a острый.

Например, при приведении ctg (a – p/2) убеждаемся, что a – p/2 при 0 < a < p/2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по правилу 1, меняем название функции: ctg (a – p/2) = –tg a.

Формулы сложения

sin (ab) = sin a cos b cos a sin b;

cos (ab) = cos a cos b sin a sin b

Формулы кратных углов

Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos2a – sin2a = 2 cos2a – 1 = 1 – 2 sin2 a;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin3a;

cos 3a = 4 cos3a – 3 cos a;

Формулу для cos 3a использовал Франсуа Виет при решении кубического уравнения. Он же впервые нашел выражения для cos na и sin na, которые позже были получены более простым путем из формулы Муавра.

Если в формулах двойного аргумента заменить a на a/2, их можно преобразовать в формулы половинных углов.

Формулы универсальной подстановки

Используя эти формулы, выражение, включающее разные тригонометрические функции от одного и того же аргумента, можно переписать как рациональное выражение от одной функции tg (a/2), это бывает полезно при решении некоторых уравнений.

Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.

До появления компьютеров эти формулы использовались для упрощения вычислений. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т.к. логарифмы лучше всего приспособлены для умножения чисел, поэтому все исходные выражения приводили к виду, удобному для логарифмирования, т.е. к произведениям, например:

2 sina sin b = cos (a – b) – cos (a + b);

2 cos a cos b = cos (a – b) + cos (a + b);

2 sin a cos b= sin (a – b) + sin (a + b).

Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных.

Формулы понижения степени

Из формул кратного аргумента выводятся формулы:

sin2a = (1 – cos 2a)/2;	cos2a = (1 + cos 2a)/2;
sin3a = (3 sin a – sin 3a)/4;	cos3a = (3 cosa + cos 3a)/4.

С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.

Производные и интегралы тригонометрических функций
(sin x)` = cos x;	(cos x)` = –sin x;
(tg x)` = ;	(ctg x)` = – ;
т sin x dx = –cos x + C;	т cos x dx = sin x + C;
т tg x dx = –ln |cos x| + C;	т ctg x dx = ln |sin x| + C;

Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.

Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений.

Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x:

Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x:

при |x| < p/2;

при 0 < |x| < p

(Bn – числа Бернулли).

Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:

(эта формула была получена Эйлером в 1740);

Тригонометрическая система 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, образует на отрезке [–p, p] ортогональную систему функций, что дает возможность представления функций в виде тригонометрических рядов.

Тригонометрические функции комплексного аргумента

определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x,если вместо x поставить z.

Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.

Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p/2 + pn, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,

sin (–z) = –sin z,

cos (–z) = cos z,

tg (–z) = –tg z,

ctg (–z) = –ctg z,

т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы

sin (z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.

Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента.

Обратно, eiz выражается через cos z и sin z по формуле:

eiz = cos z + i sin z

Эти формулы носят название формул Эйлера. Леонард Эйлер вывел их в 1743.

Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.

Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy, где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:

sin (x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y;

cos (x + iy) = cos x ch y + i sin x sh y.

Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:

Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим.Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы ихрешения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f(x) = a, где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.

Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а.Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическимифункциями или просто аркфункциями.

Обратные тригонометрические функции.

Для sin х,cos х,tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x»), arcos x, arctg x и arcctg x. По определению, arcsin х есть такое число у, что

sin у = х.

Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.

Если отразить sin х,cos х,tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.

Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной p, при этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Для синуса вкачестве «интервала взаимной однозначности» берется отрезок [–p/2, p/2], на котором синус монотонно возрастает от –1 до 1, для косинуса – отрезок [0, p], для тангенса и котангенса соответственно интервалы (–p/2, p/2) и (0, p). Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x0, такое, что 0 Јx0Ј1. Тогда значением функции y0= arcsin x0будет единственное значение у0,такое, что –p/2 Ј у0Јp/2 и x0= sin y0.

Таким образом, арксинус – это функция агсsin а,определенная на отрезке [–1, 1] и равная при каждом а такому значению a, –p/2 < a < p/2, что sin a = а. Ее очень удобно представлять с помощью единичной окружности (рис. 15). При |а| < 1 на окружности есть две точки с ординатой a, симметричные относительно оси у. Одной из них отвечает угол a = arcsin а,а другой – угол p- а. С учетом периодичности синуса решение уравнения sin x = а записывается следующим образом:

х = (–1)n arcsin a + 2pn,

где n = 0, ±1, ±2,…

Так же решаются другие простейшие тригонометрические уравнения:

cos x = a,–1 = a = 1;

x = ±arcos a + 2pn,

где п = 0, ±1, ±2,… (рис. 16);

tg х = a;

x = arctg a + pn,

где п = 0, ±1, ±2,… (рис. 17);

ctg х = а;

х = arcctg a+pn,

где п = 0, ±1, ±2,… (рис. 18).

Основные свойства обратных тригонометрических функций:

arcsin х (рис. 19): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [–p/2, p/2], монотонно возрастающая функция;

arccos х (рис. 20): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [0, p]; монотонно убывающая функция;

arctg х (рис. 21): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (–p/2, p/2); монотонно возрастающая функция; прямые у = –p/2 и у = p/2 – горизонтальные асимптоты;

arcctg х (рис. 22): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (0, p); монотонно убывающая функция; прямые y = 0 и у = p – горизонтальные асимптоты.

Т.к. тригонометрические функции комплексного аргумента sin z и cos z (в отличие от функций действительного аргумента) принимают все комплексные значения, то и уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения для любого комплексного a.

Функции tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме ±i: уравнения tg z = a, ctg z = a имеют решения для любого комплексного числа a№ ± i:.

Для любого z = x + iy, где x и y – действительные числа, имеют место неравенства

½|eey–e-y| ≤|sin z|≤½(ey+e-y),

½|ey–e-y| ≤|cos z|≤½(ey+e-y),

из которых при y®Ґ вытекают асимптотические формулы (равномерно относительно x)

|sin z| » 1/2 e|y|,

|cos z| » 1/2 e|y|.

Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других, однако эти соотношения не являлись самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались.

Они рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 – 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30′ с точностью до 10–6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin a встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.).

Функции tg a и ctg a встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 – начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec a и cosec a. Ариабхата знал уже формулу (sin2a + cos2a) = 1, а также формулы sin и cos половинного угла, с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45′; исходя из известных значений тригонометрических функций для простейших аргументов. Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул сложения. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций различных аргументов в произведение выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614).

Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1′. Разложение тригонометрических функций в степенные ряды получено И.Ньютоном (1669). В современную форму теорию тригонометрических функций привел Л.Эйлер (18 в.). Ему принадлежат их определение для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией и ортогональности системы синусов и косинусов.