Гипербола и парабола: формулы и свойства на графиках

Построение графиков функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида
область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

1. Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
2. Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
3. Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.
4. Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.
5. Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
6. Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
7. Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 

• 

 

• 

 

• 

Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

 

• Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины

 

• Ветви вверх, следовательно, a > 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины
, т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

 

• Ветви вниз, следовательно, a < 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

1. y = 3x — 1
2. y = -x + 2
3. y = 2x
4. y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

•  y = 3x — 1

x	y
0	-1
1	2

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

• y = -x + 2

x	y
0	2
1	1

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

• y = 2x

x	y
0	0
1	2

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

• y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

• y = x² + 1
• 
• y = (x — 1)² + 2
• 
• 

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

• 

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1

• 

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

y = √x

Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x — 1

• y = (x — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x — 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x — 1)² + 2

• 

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

• 

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x0 = -b / (2 * a),
• y0 = y (x0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Как посчитать точку пересечения параболы с осью OY

Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c). Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси OY, равна нулю.

Чтобы найти точку пересечения параболы с осью OY, нужно всего лишь в вашу формулу вида ax² + bx + c вместо х подставить ноль.

Пример построения графика квадратичной функции

Например, нужно построить график квадратичной функции y = x² − 7x + 10.

• Если квадратичная функция выглядит как y = ax² + bx + c, получается, в нашем случае: a = 1, b = −7, c = 10.

a = 1, а это a > 0, следовательно ветви параболы будут направлены вверх

• Определяем нули функции, это значит ax² + bx + c = 0, в нашем случае: x² − 7x + 10 = 0

Ищем дискриминант по формуле: D = b² − 4ac, это D = (−7)² − 4*1*10 = 49 − 40 = 9

Потом вычисляем х1 и х2:

х1 = (−b + ²√D) / 2a = (7 + ²√9) / (2*1) = 5

х2 = (−b − ²√D) / 2а = (7 − ²√9) / (2*1) = 2

• Вычисляем координаты вершины параболы:

х0 = −b / 2a = 7 / (2*1) = 3,5

y0 = −D / 4а = −9 / (4*1) = −2,25

•  Точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c), следовательно, если c = 10, она пересекает её на (0;10).

Таким образом, получилась парабола такого вида:

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b2 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
• D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью ординат,
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4,
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. ищем корни:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
• Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

Здесь:

• x – независимая переменная;
• k ≠ 0;
• при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
• при k < 0 график находится во II и IV четвертях.

Линии графика (зеленым цветом) называются его ветвями.

Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.

Ось симметрии (синим цветом) – это прямая:

• y = x (при k > 0)
• y = -x (при k < 0)

Смещение асимптот

Допустим у нас есть функция, заданная формулой:

В этом случае:

• x = a – это вертикальная асимптота графика (при a ≠ 0) вместо оси Oy;
• y = b – горизонтальная асимптота (при b ≠ 0) вместо оси Ox.

Канонический вид уравнения гиперболы (координатные оси совпадают с осями графика):

Пример 1

Дана функция y = 4/x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.

x	y	Расчет y
0,5	8	4 / 0,5 = 8
1	4	4 / 1 = 4
2	2	4 / 2 = 2
4	1	4 / 4 = 1
8	0,5	4 / 8 = 0,5

Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.

x	y	Расчет y
-0,5	-8	4 / -0,5 = -8
-1	-4	4 / -1 = -4
-2	-2	4 / -2 = -4
-4	-1	4 / -4 = -1
-8	-0,5	4 / -8 = -0,5

Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено

Пример 2

Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Решение

Так как k < 0, график будет располагаться во второй и четвертой четвертях.

Теперь определяемся с асимптотами, в нашем случае это x = 3 и y = 4 (см. информацию выше про их смещение).

Составим таблицу соответствия значений x и y.

x II четв.	y II четв.	x IV четв.	y IV четв.
-1	4,5	3,5	0
1	5	4	2
2	6	5	3
2,5	8	7	3.5

Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.

Парабола против гиперболы

Разница между параболой и гиперболой состоит в том, что парабола представляет собой одну открытую кривую с эксцентриситетом один, тогда как гипербола имеет две кривые с эксцентриситетом больше единицы.

Парабола — это единственная открытая кривая, продолжающаяся до бесконечности. Он имеет U-образную форму и имеет один фокус и одну направляющую.

Гипербола — это открытая кривая, имеющая две несвязанные ветви. Он имеет два фокуса и две директрисы, по одной на каждое отделение.

Что такое парабола?

Парабола — это геометрическое место всех точек, равноудаленных от точки и линии. Эта точка называется фокусом, а эта линия — направляющей.

Парабола образуется, когда плоскость пересекает конус в направлении, параллельном (идеальный случай) его наклонной высоте.

Общее уравнение параболы имеет вид

y = ax², a ≠ 0

Значение a определяет форму кривой.

Если a> 0, устье параболы открывается вверх.

Если 0, устье параболы открывается вниз.

Фокус приведенной выше параболы равен (0, 1 / 4a). Директриса (-1 / 4a).

Однако, когда a = 1, парабола называется единичной параболой.

Парабола имеет эксцентриситет, равный единице.

Парабола симметрична относительно своей оси. На бесконечном расстоянии кривые выглядят как параллельные линии.

Что такое гипербола?

Гипербола — это геометрическое место всех точек, которые имеют постоянное отличие от двух различных точек. Эти точки называются фокусами гиперболы.

Гипербола образуется, когда твердая плоскость пересекает конус в направлении, параллельном его перпендикулярной высоте.

Общее уравнение гиперболы имеет вид

(x-α) ² / a² — (y-β) ² / b² = 1

Фокусы вышеупомянутой гиперболы: (α ± sqrt (a² + b²), β).

Вершины — это (± a, β).

У гиперболы эксцентриситет больше единицы.

Гипербола имеет две оси симметрии. Это поперечная ось и сопряженная ось.

Основные различия между параболой и гиперболой

Парабола и гипербола — это конические сечения. У них разные формы и свойства.

Основные различия между ними:

• Парабола — это геометрическое место всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы. С другой стороны, гипербола — это геометрическое место всех точек, для которых разница в расстоянии между двумя фокусами постоянна.
• Парабола — это открытая кривая, имеющая один фокус и директрису, тогда как гипербола — это открытая кривая с двумя ветвями, имеющая два фокуса и директрисы.
• Эксцентриситет параболы равен единице, а эксцентриситет гиперболы больше единицы.
• Парабола образуется, когда плоскость пересекает конус по его наклонной высоте. С другой стороны, гипербола образуется, когда плоскость пересекает конус по его перпендикулярной высоте.
• Уравнение параболы y = ax². С другой стороны, уравнение гиперболы: x² / a² — y² / b² = 1.

Таблица сравнения параболы и гиперболы (в табличной форме)

Параметр сравненияПараболаГипербола

Определение	Парабола — это геометрическое место точек, находящихся на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы.	Гипербола — это геометрическое место точек, которые имеют постоянное отличие от двух фокусов.
Форма	Парабола — это открытая кривая с одним фокусом и одной направляющей.	Гипербола — это открытая кривая с двумя ветвями, имеющая два фокуса и две направляющие.
Эксцентриситет	Неотрицательный эксцентриситет параболы равен единице.	Неотрицательный эксцентриситет гиперболы e больше единицы.
Пересечение плоскости	Пересечение плоскости параллельно (идеальный случай) наклонной высоте конуса.	Пересечение плоскости параллельно (идеальный случай) перпендикулярной высоте двойного конуса.
Общее уравнение	Общее уравнение параболы: y = ax², a ≠ 0	Общее уравнение гиперболы: x² / a² — y² / b² = 1.

 

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах

Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах имеют один и тот же вид:

где е — эксцентриситет кривой.
Если е<1, то кривая, определяемая уравнением (27), есть эллипс; если е>1, то кривая — гипербола и если е=1, то кривая — парабола.
р — фокальный параметр для эллипса и гиперболы находится по формуле

Для параболы р имеет то же значение, что и в уравнении

у² = 2рх.

При этом полюс расположен для эллипса в левом фокусе, для гиперболы — в правом фокусе.

Свойства квадратичной функции y = x²

График функции y = x² выглядит следующим образом:

• Область определения функции y = x² — множество всех действительных чисел, т. е. D(y) = R = (−∞; +∞).
• Множество значений функции — положительная полупрямая: E(y) = [0; +∞).
• В точке x = 0 (и y = 0) функция принимает минимальные значения (наибольшего значения у функции нет).

Эта точка (с координатами (0;0)) является вершиной параболы; одновременно точка (0;0) является единственной общей точкой параболы с осями координат (начало координат).

• Функция у = x² чётная, график симметричен относительно оси Оу, т. е. f(−x) = (−x)² = x² = f(x).
• Функция непрерывна на всей области определения. На (−∞; 0) функция монотонно убывает, а на (0; + ∞) функция монотонно возрастает.
• Функция у = x² непериодическая.
• Единственный нуль функции — значение аргумента x = 0.
• Функция у = x² не имеет асимптот.
• Функция принимает положительные значения на всех точках параболы, кроме начала координат, т. е. в: (−∞;0) ∪ (0;+∞).

Постоянная функция

Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

Определение 2

Свойства постоянных функций:

• область определения – все множество действительных чисел;
• постоянная функция – четная;
• область значений – множество, составленное из единственного числа C;
• постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
• постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

Корень n-й степени

Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

Рассмотрим две вариации функции.

• Корень n-й степени, n – четное число

Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

1. область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +∞);
2. когда x=0, функцияy=xn имеет значение, равное нулю;
3. данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
4. область значений: [0, +∞);
5. данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
6. функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
7. отсутствуют точки перегиба;
8. асимптоты отсутствуют;
9. график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).

• Корень n-й степени, n – нечетное число

Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

1. область определения – множество всех действительных чисел;
2. данная функция – нечетная;
3. область значений – множество всех действительных чисел;
4. функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
5. функция имеет вогнутость на промежутке (-∞; 0] и выпуклость на промежутке [0, +∞);
6. точка перегиба имеет координаты (0; 0);
7. асимптоты отсутствуют;
8. график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

Степенная функция

Степенная функция определяется формулой y=xa.

Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

• когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
• показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0<a<1; a>1; -1<a<0 и=»»></a<0></a<1; a>
• степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

Степенная функция при нечетном положительном показателе

Разберем степенную функцию y=xa, когда a – нечетное положительное число, например, a=1, 3, 5…

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y=x(черный цвет графика), y=x3 (синий цвет графика), y=x5 (красный цвет графика),  y=x7 (зеленый цвет графика). Когда a=1, получаем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

• область определения: x∈-∞; +∞;
• область значений: y∈-∞; +∞;
• функция является нечетной, поскольку y(-x)=-y(x);
• функция является возрастающей при x∈(-∞; +∞);
• функция имеет выпуклость при x∈(-∞; 0] и вогнутость при x∈[0; +∞) (исключая линейную функцию);
• точка перегиба имеет координаты (0; 0) (исключая линейную функцию);
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (-1; -1), (0; 0), (1;1).

Степенная функция при четном положительном показателе

Разберем степенную функцию y=xa, когда a – четное положительное число, например, a=2, 4, 6…

Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y=x2 (черный цвет графика), y=x4 (синий цвет графика),  y=x8 (красный цвет графика). Когда a=2, получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

• область определения: x∈(-∞; +∞);
• область значений: y∈[0; +∞);
• функция является четной, поскольку y(-x)=y(x);
• функция является возрастающей при x∈[0; +∞); убывающей при x∈(-∞; 0];
• функция имеет вогнутость при x∈(-∞; +∞);
• очки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (-1; 1), (0; 0), (1;1).

Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y=xa, когда a – нечетное отрицательное число: y=x-9 (черный цвет графика); y=x-5 (синий цвет графика); y=x-3 (красный цвет графика); y=x-1 (зеленый цвет графика). Когда a=-1, получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

• область определения: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞);

Когда х=0, получаем разрыв второго рода, поскольку limx→0-0xa=-∞, limx→0+0xa=+∞ при a=-1, -3, -5,… . Таким образом, прямая х=0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y∈(-∞; 0)∪(0; +∞);
• функция является нечетной, поскольку y(-x)=-y(x);
• функция является убывающей при x∈-∞; 0∪(0; +∞);
• функция имеет выпуклость при x∈(-∞; 0) и вогнутость при x∈(0; +∞);
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y=0, поскольку:

k=limx→∞xax=0, b=limx→∞(xa-kx)=0⇒y=kx+b=0, когда а=-1, -3, -5, … .

• точки прохождения функции: (-1; -1), (1; 1).

Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функцииy=xa, когда a – четное отрицательное число: y=x-8 (черный цвет графика); y=x-4 (синий цвет графика); y=x-2 (красный цвет графика).

Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

• область определения: x∈(-∞; 0)∪(0; +∞);

Когда х=0, получаем разрыв второго рода, поскольку limx→0-0xa=+∞, limx→0+0xa=+∞ при a=-2, -4, -6,… . Таким образом, прямая х=0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y∈(0; +∞);
• функция является четной, поскольку y(-x)=y(x);
• функция является возрастающей при x∈(-∞; 0) и убывающей при x∈0; +∞;
• функция имеет вогнутость при x∈(-∞; 0)∪(0; +∞);
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y=0, поскольку:

k=limx→∞xax=0, b=limx→∞(xa-kx)=0⇒y=kx+b=0, когда a=-2, -4, -6, … .

• точки прохождения функции: (-1; 1), (1; 1).

Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал -∞; +∞, оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь.

На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [0; +∞). Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Итак, разберем степенную функцию y=xa, когда показатель  степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0<>

Проиллюстрируем графиками степенные функции y=xa, когда a=1112 (черный цвет графика); a=57 (красный цвет графика); a=13 (синий цвет графика); a=25 (зеленый цвет графика).

Иные значения показателя степени a (при условии 0<a<1) вид=»» аналогичный=»» дадут=»»></a<1)>

Свойства степенной функции при 0<>

• область определения: x∈[0; +∞);
• область значений: y∈[0; +∞);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является возрастающей при x∈[0; +∞);
• функция имеет выпуклость при x∈(0; +∞);
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (0; 0), (1; 1).

Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

Разберем степенную функцию y=xa, когда показатель  степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a>1.

Проиллюстрируем графиками степенную функцию y=xa в заданных условиях на примере таких функций: y=x54, y=x43, y=x73, y=x3π(черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

Иные значения показателя степени а при условии a>1 дадут похожий вид графика.

Свойства степенной функции при a>1:

• область определения: x∈[0; +∞);
• область значений: y∈[0; +∞);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является возрастающей при x∈[0; +∞);
• функция имеет вогнутость при x∈(0; +∞) (когда 1<a<2) и=»» при=»» a=»» x∈[0; +∞) (когда=»» выпуклость=»»>2);</a<2)>
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точки прохождения функции: (0; 0), (1; 1).

Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал -∞; 0∪(0; +∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь.

На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0; +∞). Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y=xa при условии: -1<>

Приведем чертеж графиков следующий функций: y=x-56, y=x-23, y=x-122, y=x-17 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

Свойства степенной функции при -1<>

• область определения: x∈0; +∞;

limx→0+0xa=+∞, когда -1<a<0, вертикальная=»» –=»» х=»0″ т.е.=»»></a<0,>

• область значений: y∈0; +∞;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является убывающей при x∈0; +∞;
• функция имеет вогнутость при x∈0; +∞;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y=0;
• точка прохождения функции: (1; 1).

Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

На чертеже ниже приведены графики степенных функций y=x-54, y=x-53, y=x-6, y=x-247 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

Свойства степенной функции при a<-1:

• область определения: x∈0; +∞;

limx→0+0xa=+∞, когда a<-1, т.е. х=0 – вертикальная асимптота;

• область значений: y∈(0; +∞);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• функция является убывающей при x∈0; +∞;
• функция имеет вогнутость при x∈0; +∞;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y=0;
• точка прохождения функции: (1; 1).

Когда a=0 и х≠0, получим функцию y=x0=1, определяющую прямую, из которой исключена точка (0; 1) (условились, что выражению 00 не будет придаваться никакого значения).

Показательная функция

Показательная функция имеет вид y=ax, где а>0 и а ≠1, и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a. Рассмотрим частные случаи.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0<>. Наглядным примером послужат графики функций при a=12 (синий цвет кривой) и a=56 (красный цвет кривой).

Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0<>

Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

• область определения – все множество действительных чисел;
• область значений: y∈(0; +∞);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
• функция имеет вогнутость при x∈-∞; +∞;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y=0 при переменной x, стремящейся к +∞;
• точка прохождения функции: (0; 1).

Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а>1).

Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y=32x(синий цвет кривой) и y=ex (красный цвет графика).

Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

• область определения – все множество действительных чисел;
• область значений: y∈(0; +∞);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x∈-∞; +∞;
• функция имеет вогнутость при x∈-∞; +∞;
• точки перегиба отсутствуют;
• горизонтальная асимптота – прямая y=0 при переменной x, стремящейся к -∞;
• точка прохождения функции: (0; 1).

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция имеет вид y=loga(x), где a>0, a≠1.

Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x∈0; +∞.

График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0<a<1. и=»» функции=»» при=»» a=»12 (синий» цвет=»» (красный=»» а=»56″ кривой)=»» логарифмической=»» графиком=»» случай=»» частный=»» этот=»» продемонстрируем=»»></a<1.>

Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

• область определения: x∈0; +∞.  Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к +∞;
• область значений: y∈-∞; +∞;
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая функция является убывающей на всей области определения;
• функция имеет вогнутость при x∈0; +∞;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции: (1; 0).

Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а>1. На чертеже ниже –графики логарифмических функций y=log32x и y=ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

• область определения: x∈0; +∞.  Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к -∞;
• область значений: y∈-∞; +∞ (все множество действительных чисел);
• данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
• логарифмическая функция является возрастающей при x∈0; +∞;
• функция имеет выпуклость при x∈0; +∞;
• точки перегиба отсутствуют;
• асимптоты отсутствуют;
• точка прохождения функции: (1; 0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f(x+T)=f(x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

• Функция синус: y=sin(х)

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

1. область определения: все множество действительных чисел x∈-∞; +∞;
2. наименьший положительный период: Т=2π;
3. функция обращается в нуль, когда x=π·k, где k∈Z (Z – множество целых чисел);
4. область значений: y∈-1; 1;
5. данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
6. функция является возрастающей при x∈-π2+2π·k; π2+2π·k, k∈Z и убывающей при x∈π2+2π·k; 3π2+2π·k, k∈Z;
7. функция синус имеет локальные максимумы в точках π2+2π·k; 1 и локальные минимумы в точках -π2+2π·k; -1, k∈Z;
8. функция синус вогнутая, когда x∈-π+2π·k; 2π·k, k∈Z и выпуклая, когда x∈2π·k; π+2π·k, k∈Z;
9. точки перегиба имеют координаты π·k; 0, k∈Z;
10. асимптоты отсутствуют.

• Функция косинус:y=cos(х)

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

1. область определения:  x∈-∞; +∞;
2. наименьший положительный период: Т=2π;
3. функция обращается в нуль, когда x=π2+π·k при k∈Z (Z – множество целых чисел);
4. область значений: y∈-1; 1;
5. данная функция – четная, поскольку y(-x)=y(x);
6. функция является возрастающей при x∈-π+2π·k; 2π·k, k∈Z и убывающей при x∈2π·k; π+2π·k, k∈Z;
7. функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2π·k; 1, k∈Z и локальные минимумы в точках π+2π·k; -1, k∈z;
8. функция косинус вогнутая, когда x∈π2+2π·k; 3π2+2π·k, k∈Z и выпуклая, когдаx∈-π2+2π·k; π2+2π·k, k∈Z ;
9. точки перегиба имеют координаты π2+π·k; 0, k∈Z
10. асимптоты отсутствуют.

• Функция тангенс: y=tg(х)

График данной функции называетсятангенсоида.

Свойства функции тангенс:

1. область определения:  x∈-π2+π·k; π2+π·k, где k∈Z (Z – множество целых чисел);
2. Поведение функции тангенс на границе области определения limx→π2+π·k+0tg(x)=-∞, limx→π2+π·k-0tg(x)=+∞. Таким образом, прямые x=π2+π·k k∈Z – вертикальные асимптоты;
3. наименьший положительный период: Т=π;
4. функция обращается в нуль, когда x=π·k при k∈Z (Z – множество целых чисел);
5. область значений: y∈-∞; +∞;
6. данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
7. функция является возрастающей при -π2+π·k;π2+π·k, k∈Z ;
8. функция тангенс является вогнутой при x∈[π·k; π2+π·k), k∈Z и выпуклой при x∈(-π2+π·k; π·k], k∈Z;
9. точки перегиба имеют координаты π·k; 0, k∈Z;
10. наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

• Функция котангенс: y=ctg(х)

График данной функции называется котангенсоида.

Свойства функции котангенс:

1. область определения:  x∈(π·k; π+π·k), где k∈Z (Z – множество целых чисел);
2. Поведение функции котангенс на границе области определения limx→π·k+0tg(x)=+∞, limx→π·k-0tg(x)=-∞. Таким образом, прямые x=π·k k∈Z – вертикальные асимптоты;
3. наименьший положительный период: Т=π;
4. функция обращается в нуль, когда x=π2+π·k при k∈Z (Z – множество целых чисел);
5. область значений: y∈-∞; +∞;
6. данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
7. функция является убывающей при x∈π·k; π+π·k, k∈Z ;
8. функция котангенс является вогнутой при x∈(π·k; π2+π·k], k∈Z и выпуклой при x∈[-π2+π·k; π·k), k∈Z;
9. точки перегиба имеют координаты π2+π·k; 0, k∈Z;
10. наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

• Функция арксинус: y=arcsin(х)

Свойства функции арксинус:

1. область определения: x∈-1; 1;
2. область значений: y∈-π2; π2 ;
3. данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
4. функция является возрастающей на всей области определения;
5. функция арксинус имеет вогнутость при x∈0; 1 и выпуклость при x∈-1; 0;
6. точки перегиба имеют координаты (0; 0), она же – нуль функции;
7. асимптоты отсутствуют.

• Функция арккосинус:y=arccos(х)

Свойства функции арккосинус:

1. область определения: x∈-1; 1;
2. область значений:  y∈0; π;
3. данная функция — общего вида (ни четная, ни нечетная);
4. функция является убывающей на всей области определения;
5. функция арккосинус имеет вогнутость при x∈-1; 0 и выпуклость при x∈0; 1;
6. точки перегиба имеют координаты 0; π2;
7. асимптоты отсутствуют.

• Функция арктангенс:y=arctg(х)

Свойства функции арктангенс:

1. область определения: x∈-∞; +∞;
2. область значений: y∈-π2; π2 ;
3. данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
4. функция является возрастающей на всей области определения;
5. функция арктангенс имеет вогнутость при x∈(-∞; 0] и выпуклость при x∈[0; +∞);
6. точка перегиба имеет координаты (0; 0), она же – нуль функции;
7. горизонтальные асимптоты – прямые y=-π2 при x→-∞ и y=π2 при x→+∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).

• Функция арккотангенс:y=arcctg(х)

Свойства функции арккотангенс:

1. область определения: x∈-∞; +∞;
2. область значений: y∈(0; π) ;
3. данная функция – общего вида;
4. функция является убывающей на всей области определения;
5. функция арккотангенс имеет вогнутость при x∈[0; +∞) и выпуклость при x∈(-∞; 0];
6. точка перегиба имеет координаты 0; π2;
7. горизонтальные асимптоты – прямые y=π при x→-∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y=0 при x→+∞.