Формулы суммы и разности тригонометрических функций: как преобразовать в произведение

Основные тождества тригонометрии

Тригонометрические тождества дают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, позволяя выразить одну функцию через другую.

Тригонометрические тождества

sin2a+cos2a=1tgα=sinαcosα, ctgα=cosαsinαtgα·ctgα=1tg2α+1=1cos2α, ctg2α+1=1sin2α

Эти тождества напрямую вытекают из определений единичной окружности, синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют переходить от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами в пределах от 0 до 90 градусов.

Формулы приведения

1. sinα+2πz=sinα,
2. cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα,
3. ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα,
4. cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα,
5. ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα,
6. cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα,
7. ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα,
8. cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα,
9. ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα,
10. cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα,
11. ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα,
12. cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα,
13. ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα,
14. cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα,
15. ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα,
16. cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα,
17. ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы приведения являются следствием периодичности тригонометрических функций.

Тригонометрические формулы сложения

Формулы сложения в тригонометрии позволяют выразить тригонометрическую функцию суммы или разности углов через тригонометрические функции этих углов.

Тригонометрические формулы сложения

sinα±β=sinα·cosβ±cosα·sinβcosα+β=cosα·cosβ-sinα·sinβcosα β=cosα·cosβ+sinα·sinβtgα±β=tgα±tgβ1±tgα·tgβctgα±β=-1±ctgα·ctgβctgα±ctgβ

На основе формул сложения выводятся тригонометрические формулы кратного угла.

Формулы кратного угла: двойного, тройного и т.д.

Формулы двойного и тройного угла

1. sin2α=2·sinα·cosαcos2α=cos2α-sin2α,
2. cos2α=1-2sin2α,
3. cos2α=2cos2α-1tg2α=2·tgα1-tg2α
4. сtg2α=сtg2α-12·сtgα
5. sin3α=3sinα·cos2α-sin3α,
6. sin3α=3sinα-4sin3αcos3α=cos3α-3sin2α·cosα,
7. cos3α=-3cosα+4cos3αtg3α=3tgα-tg3α1-3tg2αctg3α=ctg3α-3ctgα3ctg2α-1

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла в тригонометрии являются следствием формул двойного угла и выражают соотношения между основными функциями половинного угла и косинусом целого угла.

Формулы половинного угла

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1+cosα2tg2α2=1-cosα1+cosαctg2α2=1+cosα1-cosα

Формулы универсальной подстановки.

С этими формулами легко любое выражение, которое содержит различные тригонометрические функции одного аргумента, превращается в рациональное выражение одной функции tg(α /2):

 

Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы.

Раньше приведенные формулы использовали для упрощения расчетов. Вычисляли при помощи логарифмических таблиц, а позднее – логарифмической линейки, так как логарифмы наилучше подходят для умножения чисел. Вот почему каждое исходное выражение приводилось к виду, который был бы удобен для логарифмирования, то есть к произведениям, например:

• 2 sinα sinb = cos (α – b) – cos (α + b);
• 2 cosα cosb = cos (α – b) + cos (α + b);
• 2 sinα cosb = sin (α – b) + sin (α + b).
• 

где  — угол, для которого  в частности,

Формулы для функций тангенса и котангенса легко получаются из выше указанных.

Пример 1.

Преобразовать в произведение cos 48° — cos 12°.

Решение:

Применив формулу разности косинусов при , получим

Так как , то окончательно получимcos 48° — cos 12° = — sin 18°.

Пример 2.

Преобразовать в произведение

sin х + cos 2х — sin Зх.

Решение:

Формулы понижения степени.

sin2α = (1 – cos 2α)/2;	cos2α = (1 + cos 2α)/2;
sin3α = (3 sinα – sin 3α)/4;	cos3a = (3 cosα + cos 3α)/4.

 

При помощи данных формул тригонометрические уравнения легко приводятся к уравнениям с более низкими степенями. Точно так же выводят формулы понижения для более высоких степеней sin и cos.

Пример 1.

Доказать тождество

Решение:

Знаменатель правой части преобразуем по формуле (1), а числитель — по формуле синуса двойного аргумента (см. п. 128). Получим

Пример 2.

Вычислить , если известно, что .

Решение:

Воспользовавшись тем, что
, применим формулы понижения степени. Получим

Выражение тригонометрических функций через одну из них того же аргумента.

Знак перед корнем зависим от .α четверти расположения угла

• Через sinα:

• Через cosα:

• Через tgα:

• Через ctgα:

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Разложение на множители разностей синусов и косинусов очень удобно применять при решении тригонометрических уравнений и упрощении выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2·cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2·cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2·sinα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·sinβ-α2

Формулы (1)—(4) справедливы для любых
Формула (5) верна при
отличных от 
Формула (6) верна при
отличных от

Произведение тригонометрических функций

Если формулы суммы и разности функций позволяют перейти к их произведению, то формулы произведения тригонометрических функций осуществляют обратный переход — от произведения к сумме. Рассматриваются формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.

Формулы произведения тригонометрических функций

sinα·sinβ=12·(cos(α-β)-cos(α+β))cosα·cosβ=12·(cos(α-β)+cos(α+β))sinα·cosβ=12·(sin(α-β)+sin(α+β))

Произведение косинусов

Сложим базовые равенства I и II — косинус разности и косинус суммы:

cos(α−β) + cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) + cos(α)×cos(β) − sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения синусов сокращаются} = cos(α)×cos(β) + cos(α)×cos(β) = 2×cos(α)×cos(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) + cos(α+β) = 2×cos(α)×cos(β)

В этом равенстве можно и левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения косинусов:

cos(α)×cos(β) = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение косинусов равно полусумме косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение тангенса на тангенс

Выведем формулу произведения тангенса на тангенс (d).

.

Другую формулу произведения тангенса на тангенс (формула (d’)) получим применяя формулы (a) и (c):

.

Произведение синусов

Воспользуемся базовыми формулами I и II — косинус разности и косинус суммы. Из равенства I вычтем равенство II:

cos(α−β) — cos(α+β) = = cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) — cos(α)×cos(β) + sin(α)×sin(β) = {одинаковые произведения косинусов сокращаются} = sin(α)×sin(β) + sin(α)×sin(β) = 2×sin(α)×sin(β)

Получаем равенство:

cos(α−β) — cos(α+β) = 2×sin(α)×sin(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синусов:

sin(α)×sin(β) = [cos(α−β) — cos(α+β)] / 2,

т.е. произведение синусов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы.

Произведение синуса на косинус

Сложим базовые равенства III и IV — синус суммы и синус разности:

sin(α−β) + sin(α+β) = = sin(α)×cos(β) − cos(α)×sin(β) + sin(α)×cos(β) + cos(α)×sin(β) = {одинаковые cos(α)×sin(β) сокращаются} = sin(α)×cos(β) + sin(α)×cos(β) = = 2×sin(α)×cos(β)

Получаем равенство:

sin(α−β) + sin(α+β) = 2×sin(α)×cos(β)

В этом равенстве можно левую и правую части поделить на 2 и поменять местами и получится искомое выражение для произведения синуса на косинус:

sin(α)×cos(β) = [sin(α−β) + sin(α+β)] / 2,

т.е. произведение синуса на косинус равно полусумме синуса разности и синуса суммы.

Произведение котангенса на котангенс

Выведем формулу произведения котангенса на котангенс (e).

.

Другую формулу произведения котангенса на котангенс (формула (e’)) получим применяя формулы (a) и (c):

.

Примеры применения формул произведения тригонометрических функций

Пример 1. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как невозможно найти точное решение ни для , ни для
попробуем использовать формулу (d’):

Ответ:.

Пример 2. Вычислить точное значение следующего выражения:.

Решение. Так как несуществует точного решения ни для , ни для ,то попробуем использовать формулу (a):

Ответ:
.

Пример 1.

Вычислить sin 75°.

Решение:

Имеем sin 75° = sin (30° + 45°). Воспользовавшись формулой (3) при
получим

sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°.

Известно, что

(см. п. 99). Значит, 

Итак, 

Пример 2.

Упростить выражение

Решение:

Воспользуемся для
и 
формулами (3) и (1) и учтем, что

Пример 3.

Вычислить cos 15°.

Решение:

Имеем 15° = 45° — 30°. Воспользовавшись формулой (2) при
получим

cos 15° = cos (45° — 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Пример 4.

Найти , если .

Решение:

Воспользуемся формулой (5) и учтем, что :

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Если в формуле (2) из п. 125 положить , то получим

откуда, в свою очередь, находим, что

Тождество (2) справедливо при
а тождество (3) — при

Равенства (1), (2), (3) связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. Известны еще два равенства, связывающие между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента:

Перемножая эти равенства, получаем равенство

справедливое при

Пример 1.

Известно, что , причем

Найти cos t, tg t, ctg t.

Решение:

Из формулы (1) получаем
 Подставив вместо sin t его значение, получим

Итак, <br>; значит, либо

По условию, , т. е. аргумент t принадлежит III четверти. Но в III четверти косинус отрицателен; значит, из двух указанных выше возможностей выбираем одну:

Зная sin t и cos t, находим tg t и ctg t:

Пример 2.

Известно, что , причем . Найти sin t, cos t, tg t.

Peшeние:

Из формулы (3) находим

Подставив вместо ctg t его значение, получим

Итак, . Значит, либо , либо 
По условию,
Значит, t принадлежит II четверти, а во II четверти синус положителен. Поэтому из двух указанных возможностей выбираем одну: Для отыскания значения cos t воспользуемся определением котангенса: . Из этого равенства находим

Осталось вычислить значение tg t. Из равенства 
находим, что . Итак,

Основные тригонометрические формулы.

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1.

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin2α−cot2α=1 или csc2α−cot2α=1.

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Определение тангенса:

1. tanα=sinα/cosα,
2. где α≠π/2+πn,n∈Z.

Определение котангенса:

1. cotα=cosα/sinα,
2. где α≠πn,n∈Z.

Следствие из определений тангенса и котангенса:

1. tanα⋅cotα=1,
2. где α≠πn/2,n∈Z.

Определение секанса:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈Z

Определение косеканса:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈Z

Тригонометрические неравенства.

Простейшие тригонометрические неравенства:

1. sinx > a, sinx ≥ a, sinx < a, sinx ≤ a,
2. cosx > a, cosx ≥ a, cosx < a, cosx ≤ a,
3. tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a,
4. cotx > a, cotx ≥ a, cotx < a, cotx ≤ a.

Квадраты тригонометрических функций.

Формулы кубов тригонометрических функций.

Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример 1.

Упростить выражение cos (arcsin х), где .

Решение:

Положим arcsin х = у. Тогда sin у = х, . Нужно найти cos у.

Известно, что
значит,

Но , а на отрезке 
косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому  т.е. 

Пример 2.

Вычислить .

Решение:

Положим . Тогда

Нужно вычислить

Имеем  ; значит,

Так как, далее,

откуда

По условию,  значит,  а в интервале имеем
Итак, т. е.

Пример 3.

Доказать, что для любого х из [- 1; 1] справедливо тождество

Решение:

Вычислим значения синуса левой и правой частей проверяемого равенства:

Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что
принадлежат одно-му и тому же промежутку монотонности функции у = sin х (без проверки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значении аргумента, например )

Имеем
Далее, а поэтому
Итак, arcsin х и 
принадлежат одному промежутку монотонности 
функции у = sin х. Теперь можно считать, что тождество (1) доказано. Аналогично можно доказать, что

Значения тригонометрических функций

α

0

α°

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

sin α

0

1

0

−1

0

cos α

1

0

−1

0

1

tg α

0

1

−

−1

0

1

−

−1

0

ctg α

−

1

0

−1

−

1

0

−1

−

Таблица тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n – целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	–∞ < y < +∞	–∞ < y < +∞
Возрастание		–
Убывание	–
Экстремумы	–	–
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	–

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π.

Четность

Функции тангенс и котангенс – нечетные.

Тригонометрические функции двойного угла

sin 2α = 2 sin α · cos αcos 2α = cos2α – sin2α

tg 2α =	2 tg α
1 – tg2α

ctg 2α =	ctg2α – 1
2 ctg α

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Формула	Название формулы
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β	Синус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β	Синус разности
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β	Косинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β	Косинус разности
	Тангенс суммы
	Тангенс разности

Синус суммы

sin (α + β) = sin α cos β + + cos α sin β

Синус разности

sin (α – β) = sin α cos β – – cos α sin β

Косинус суммы

cos (α + β) = cos α cos β – – sin α sin β

Косинус разности

cos (α – β) = cos α cos β + + sin α sin β

Тангенс суммы

Тангенс разности