Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть числа, переменные или даже целочисленные выражения. Чтобы быстро решать задачи, лучше всего запомнить 7 основных формул сокращенного умножения (FSO). Да, алгебра такая, надо быть готовым много запоминать.

Ниже представлена ​​удобная табличка, которую можно распечатать и использовать в качестве закладки для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Научимся произносить формулы сокращенного выражения:

1. Разница между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс двойное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
3. Квадрат разницы между двумя выражениями равен квадрату первого, минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
4. Сумма кубиков двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат их разности.
5. Разница между кубиками двух выражений равна произведению разницы между первым и вторым на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс три раза больше квадрата первого плюс три квадрата второго плюс куб второго.
7. Куб разницы между двумя выражениями равен кубу первого минус тройное произведение квадрата первого на второе плюс тройное произведение первого и квадрата второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Другими словами, произведение суммы a и b на их разность равно разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.

важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b) 2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Идти:

• Используя искусственный метод, прибавьте и вычтите то же самое к * b.

+ а * б — а * б = 0

a2 — b2 = a2 — b2 + ab — ab

• Сгруппируем по-другому: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
• Продолжаем группировать: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
• Уберем общие множители из скобок:

(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)

• Убираем из скобок (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
• Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
• Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, вам нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — Ь * Ь = а2 — Ь2.

Остальную часть FSO можно продемонстрировать аналогичным методом.

Доказательство ФСУ

доказать ФСО довольно просто. По свойствам умножения умножаем части формул в скобки.

Например, рассмотрим формулу квадрата разницы.

а-в2 = а2-2аб + в2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, вы должны умножить это выражение на себя.

а-б2 = а-ба-б.

Раскроем скобки:

а-ба-б = а2-аб-ба + Ь2 = а2-2аб + Ь2.

Формула доказана. Остальная часть ФСО демонстрирует то же самое.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Сумма в квадрате		Квадрат первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения.
Квадрат разницы		Квадрат разницы между двумя выражениями равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Суммарный куб		Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения плюс три умноженных на произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс троекратное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс второе выражение в кубе.
Кубическая разница		Куб разности двух величин равен первому выражению в кубе минус троекратное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс троекратное произведение первого выражения на второй квадрат минус второе выражение в кубе.
Разница квадратов		Разница между квадратами первого и второго выражений равна произведению разницы между двумя выражениями и их суммой.
Сумма кубиков		Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разницы равно сумме их кубиков.
Разница кубиков		Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы равно разности их кубиков.

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им вы можете возвести в квадрат или куб сумму (разность) двух выражений. Что касается пятой формулы, ее нужно применять для краткого умножения разности или суммы двух выражений.

Последние две формулы (6 и 7) используются для умножения сумм обоих выражений на неполный квадрат разности или суммы.

Приведенные выше формулы часто нужны на практике. Поэтому их желательно знать наизусть.

Если вы встретите пример факторизации многочлена, во многих случаях вам придется переставить левую и правую части.

Например, возьмем ту же первую формулу: поместите левую часть вправо, а правую — влево: ту же процедуру можно проделать с остальными формулами.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

В таблицу основных FSO следует добавить еще несколько важных идентификаторов, которые будут полезны для устранения неполадок.

Бином Ньютона

Формула разложения на отдельные точки целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Написано это так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов в строке n треугольника Паскаля:

FSO для квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Будет полезно, если в сумме, которую нужно возвести в степень, больше двух слагаемых.

(a1 + a2 +… + a) 2 = a12 + a22 +… + a-12 + a2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+ 2 * ан-1 * ан

Он читается так: квадрат суммы n членов равен сумме квадратов всех этих членов и удвоенных произведений всех возможных пар этих членов.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an — bn = (a — b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных индикаторов это можно записать так:

a2 * m — b2 * m = (a2 — b2) * (a2 * m — 2 + a2 * m — 4 * b2 + a2 * m — 6 * b4 +… + b2 * m — 2).

Для нечетных индикаторов:

a2 * m + 1 — b2 * m + 1 = (a — b) * (a2 * m + a2 * m — 1 * b + a2 * m — 2 * b2 +… + b2 * m).

Частными случаями являются формулы для разницы между квадратами и кубами для n = 2 и n = 3. Для разницы между кубами b также можно заменить на −b.

Решение задач

Попрактикуемся и посмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10) 2.

Как решить: используйте формулу квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64 * c3 — 8.

Как решаем: применяем разность кубиков: 64 * c3 — 8 = (4 * s) 3-23 = (4 * s — 2) ((4 * s) 2 + 4 * s * 2 + 22) = (4 * s — 2) (16 * s2 + 8 * s + 4).