Формулы для призмы: площадь основания и боковой поверхности

Что такое призма

Призма — это многогранник, образованный двумя равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях (основаниями) и боковыми гранями — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Частным случаем призмы является параллелепипед (основания — параллелограммы).

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник — от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Варианты сечения призмы

1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через диагональ основания призмы и два соответствующих боковых ребра.
   
   Примечание: У треугольной призмы нет диагонального сечения, т.к. основанием фигуры является треугольник, у которого нет диагоналей.
2. Перпендикулярное сечение – секущая плоскость пересекает все боковые ребра под прямым углом.
   

Примечание: другие варианты сечения не так распространены, поэтому отдельно на них останавливаться не будем.

Виды призм

Рассмотрим разновидности фигуры с треугольным основанием.

1. Прямая призма – боковые грани расположены под прямым углом к основаниям (т.е. перпендикулярны им). Высота такой фигуры равняется ее боковому ребру.
   
2. Наклонная призма – боковые грани фигуры не перпендикулярны ее основаниям.
   
3. Правильная призма – основаниями являются правильные многоугольники. Может быть прямой или наклонной.
   
4. Усеченная призма – часть фигуры, оставшаяся после пересечения ее плоскостью, не параллельной основаниям. Также может быть как прямой, так и наклонной.
   

Основные свойства призмы

1. Основы призмы — равные многоугольники.
2. Боковые грани призмы — параллелограммы.
3. Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
4. Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
5. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
6. Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
7. В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.

Объём призмы

Объем призмы определяется произведением площади ее основания и высоты:

V = S*h,

где

• V — вычисляемый объем;
• S — площадь основания призмы;
• h — высота призмы

Формула.Объём призмы через площадь основания и высоту:

V = SоснH

Формула.Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения и длину бокового ребра:

V = SпL

Формула.Объём правильной прямой призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):

V =	n	ha2ctg	π
4	n

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если треугольник прямоугольный, то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания треугольной призмы в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Вторая: S = ½ на * а.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а2.

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * на. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: на = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота на противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d1 d2. Здесь d1 и d2 — две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней площадь равностороннего треугольника следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а2 * √3.

Площадь поверхности призмы

Формула. Площадь боковой поверхности призмы через периметр основания и высоту:

Sb = P·h

Формула.Площадь поверхности призмы через площадь основания, периметр основания и высоту:

S = 2Soсн + P·h

Формула.Площадь поверхности правильной призмы через высоту (h), длину стороны (a) и количество сторон (n):

S =	n	a2ctg	π	+ nah
2	n

Примеры решения задачи

Объем наклонной треугольной призмы

Задача 1

Дано: наклонная треугольная призма АВСА1В1С1

АС = А1С1 = 10 см

АВ = ВС = А1В1 = В1С1 = 12 см

АР = 5 см

Найти: V призмы — ?

Решение:

В основании призмы лежит равнобедренный треугольник.

Его площадь вычисляется по формуле

S = 0,5*а*h,

где

• S — вычисляемая площадь;
• a — основание треугольника;
• h — высота, проведенная к основанию;

Проведем высоту h = ВМ.

В равнобедренном треугольнике высота является медианой и биссектрисой, следовательно, АМ = МС = 10/2 = 5 (см)

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

АВ2 = АМ2 + ВМ2, следовательно,

ВМ2 = АВ2 — АМ2

ВМ2 = 144 – 25 = 119

ВМ = 10,9 (см).

Находим площадь основания:

S = 0,5*10*10,9 = 54,5 (см2)

Подставляем полученное значение в формулу вычисления объема:

V = 54,5*5= 272,5 (см3)

Ответ: 272, 5 см3.

• Дана правильная прямая четырехугольная призма. Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х2 = d2 — н2. С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х2 = а2 + а2. Таким образом получается, что а2 = (d2 — н2)/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см2.

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см2. Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см2.

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см2. Всей поверхности — 960 см2.

• Дана правильная треугольная призма. В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см2. Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см2.

Ответ. Площади: основания — 9√3 см2, боковой поверхности призмы — 180 см2.

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=Sосн . h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

Sбок=Pосн.h

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн.h, то получим:

Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.

Пример призмы

В этом примере:

1. ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
2. ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
3. Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
4. Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.