- Виды балок
- Деревянные
- Стальные
- Цельные балки
- Клеёный брус
- Двутавровые балки
- Прочность и жесткость балки
- Расчет на жесткость
- Построение эпюр балки
- Расчет на жесткость
- Расчет моментов инерции и сопротивления сечения
- Что такое прогиб балки?
- Нахождение максимальной нагрузки и прогиба
- Расчет на прогиб и его особенности
- Составление расчетной схемы балки
- Реакции опор
- Система координат
- Распределенная нагрузка
- Учет внешней нагрузки
- Формулы прогибов
- Вычисление прогиба
- Метод начальных параметров
- Пример расчет балки на прогиб
- Подробнее о примере
- Длина балки
- Определение расчетной нагрузки
- Максимальный изгибающий момент
- Требуемый момент сопротивления
- Момент сопротивления балки перекрытия
- Упрощенный расчет (по готовым формулам)
- Определение опорных реакций:
- Определение максимального изгибающего момента:
- Подбор сечения балки:
- Проверка по касательным напряжениям (для деревянной балки):
- Определение прогиба
- Методика расчета балок перекрытия из клееного бруса и отесанного бревна
- Способы выполнить расчет и проверку на прогиб
Виды балок
При возведении зданий используется балки разных конфигураций, размеров, профиля, характера сечения. Их изготавливают из металла и дерева. Для любого вида используемого материала нужен индивидуальный расчёт изгиба.
Виды балок:
- Деревянные — их используют в основном при строительстве индивидуальных построек. Они применяются при возведении полов, потолков, несущих перекрытий. Дерево – капризный материал и подвержено деформации. Для определения максимального изгиба, существенны такие параметры: используемый профиль, размер, нагрузка, характер поперечного сечения.
- Металлические — такие балки изготавливают из сплава металлов и сечение у них сложное. Поэтому особое внимание уделяется жесткости, а также прочности соединений. Балки из металла применяются в возведении многоэтажек, сооружений, требующих высокой прочности.
Деревянные
Для постройки частных домов, дач и другого индивидуального строительства чаще всего используются деревянные балки. Деревянные конструкции, работающие на изгиб, могут использоваться для потолочных и напольных перекрытий.
Деревянные перекрытия
Для расчета максимального прогиба следует учитывать:
- Материал. Различные породы дерева обладают разным показателем прочности, твердости и гибкости.
- Форма поперечного сечения и другие геометрические характеристики.
- Различные виды нагрузки на материал.
Допустимый прогиб балки учитывает максимальный реальный прогиб, а также возможные дополнительные эксплуатационные нагрузки.
Конструкции из древесины хвойных пород
Стальные
Металлические балки отличаются сложным или даже составным сечением и чаще всего изготавливаются из нескольких видов металла. При расчете таких конструкций требуется учитывать не только их жесткость, но и прочность соединений.
Стальные перекрытия
Металлические конструкции изготавливаются путем соединения нескольких видов металлопроката, используя при этом такие виды соединений:
- электросварка;
- заклепки;
- болты, винты и другие виды резьбовых соединений.
Стальные балки чаще всего применяются для многоэтажных домов и других видов строительства, где требуется высокая прочность конструкции. В данном случае при использовании качественных соединений гарантируется равномерно распределенная нагрузка на балку.
Для проведения расчета балки на прогиб может помочь видео:
Цельные балки
Балки сделанные из цельного массива дерева, менее прочные, чем клеёные или двутавровые. Поэтому их длина не должна превышать 6 метров. Часто для увеличения прочности, строители на объекте спаривают доски. Стягивают их болтами и гайками с резиновыми или пластиковыми прокладками, предотвращающими попадание влаги и образованию ржавчины на крепеже.
Клеёный брус
Клеёный брус изготавливают методом склеивания нескольких частей между собой. Балки из этого материала способны выдерживать высокие нагрузки, поэтому их можно использовать в конструкции перекрытий длиной до 14 метров. Из такого бруса можно изготовить гнутые перекрытия для арок.
Имеются у таких изделий и недостатки. При изготовлении могут использовать некачественные пиломатериалы, поэтому со временем возможна усадка балочного перекрытия. К тому же клеёные балки значительно дороже цельных. Чтобы рациональнее использовать средства отведённые на строительство, нужно правильно рассчитать нагрузку и длину балок.
Клееный брус при аналогичном сечении с обычным имеет большую прочность
Балки перекрытия изготавливают из хвойных пород дерева, но также часто используют древесину дуба, акации, клёна и других деревьев. Главное условие необходимое для прочности конструкции – влажность не более 12–14%. Виды некоторых изделий приведены в таблице ниже.
Двутавровые балки
Достоинства двутавровых деревянных балок – универсальность применения, простота установки и высокая прочность. Они сохраняют свои параметры при больших нагрузках без вспомогательных конструкций для усиления.
Двутавр делают с использованием хорошо просушенного строганного или клеёного бруса, прочной проклеенной водостойкой фанеры или OSB-плит, на основе огнеупорного и влагостойкого клея. Поэтому двутавровая деревянная балка не требует пропитки специальными составами и легко поддаётся распиловке. Однако из-за сложной технологии изготовления их редко применяют для устройства перекрытий.
Для всех видов выпускаемой продукции есть свой сортамент. Сортамент — это подбор различных изделий готовой продукции по маркам, профилям или размерам. Часто в таблице указаны дополнительные сведения о прочности, весе и т. д.
Прочность и жесткость балки
При проектировании следует учесть изгиб балок, чтобы конструкция была надежная, качественная, прочная и практичная.
На эти параметры влияют следующие факторы:
- величина наружных нагрузок, их положение;
- параметры, характер, нахождение поперечного сечения;
- продольные величины;
- материал;
- число опор, метод их закрепления.
Выделяют 2 метода исчисления: простой – применяется увеличительный коэффициент, и точный – дополнительно включает пограничные подсчеты.
Расчет на жесткость
Для расчета прочности балки на изгиб применяется формула:
Где:
M – максимальный момент, который возникает в балке;
Wn,min – момент сопротивления сечения, который является табличной величиной или определяется отдельно для каждого вида профиля.
Ry является расчетным сопротивлением стали при изгибе. Зависит от вида стали.
γc представляет собой коэффициент условий работы, который является табличной величиной.
Расчет жесткости или величины прогиба балки является достаточно простым, поэтому расчеты может выполнить даже неопытный строитель. Однако для точного определения максимального прогиба необходимо выполнить следующие действия:
- Составление расчетной схемы объекта.
- Расчет размеров балки и ее сечения.
- Вычисление максимальной нагрузки, которая воздействует на балку.
- Определение точки приложения максимальной нагрузки.
- Дополнительно балка может быть проверена на прочность по максимальному изгибающему моменту.
- Вычисление значения жесткости или максимально прогиба балки.
Чтобы составить расчетную схему, потребуются такие данные:
- размеры балки, длину консолей и пролет между ними;
- размер и форму поперечного сечения;
- особенности нагрузки на конструкцию и точно ее приложения;
- материал и его свойства.
Если производится расчет двухопорной балки, то одна опора считается жесткой, а вторая – шарнирной.
Построение эпюр балки
Эпюра распределения величины нагрузки на объект:
Расчет на жесткость
Алгоритм исчисления:
В формуле обозначены:
- M – max момент, возникающий в брусе;
- Wn,min – момент сопротивления сечения (табличный показатель);
- Ry – сопротивление на изгиб (расчётный показатель);
- γc – показатель условий труда (табличный показатель).
Такой расчет не трудоемок, но для более верного значения требуется следующее:
- рабочий план объекта;
- определение характеристик балки, характер сечения;
- определение max нагрузки, воздействующей на брус;
- оценка точки max прогиба;
- проверка прочности max изгибающего момента.
Расчет моментов инерции и сопротивления сечения
Алгоритм исчисления:
Где:
- J – момент инерции сечения;
- W – момент сопротивления.
Для определения данных параметров необходимо учитывать сечение по грани разреза. Если момент инерции возрастает, величина жесткости также возрастает.
Что такое прогиб балки?
Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).
Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.
- ν-прогиб сечения C;
- θ-угол поворота сечения C.
Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.
Нахождение максимальной нагрузки и прогиба
Формула для вычисления:
Здесь обозначены:
- q – нагрузка равномерно-распределенная;
- E – гибкость (табличный показатель);
- l – длина;
- I – момент инерции сечения.
Нагрузки учитываются статические и периодические.
Расчет на прогиб и его особенности
Он необходим для всех перекрытий при высоких эксплуатационных нагрузках.
При применении соответствующих коэффициентов, придерживаются следующего:
- балка, держащаяся на одной жесткой и одной шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию сосредоточенной нагрузки;
- балка, держащаяся на жесткой и шарнирной опоре, подвергающаяся воздействию распределенной нагрузки;
- нагрузка консольного типа;
- воздействие комплексной нагрузки.
Составление расчетной схемы балки
Для того чтобы составить расчетную схему, не требуется больших знаний. Для этого достаточно знать размер и форму поперечного сечения элемента, пролет между опорами и способ опирания. Пролетом является расстояние между двумя опорами. К примеру, вы используете балки как опорные брусья перекрытия для несущих стен дома, между которыми 4 м, то величина пролета будет равна 4 м.
Вычисляя прогиб деревянной балки, их считают свободно опертыми элементами конструкции. В случае балки перекрытия для расчета принимается схема с нагрузкой, которая распределена равномерно. Обозначается она символом q. Если же нагрузка несет сосредоточенный характер, то берется схема с сосредоточенной нагрузкой, обозначаемой F. Величина этой нагрузки равна весу, который будет оказывать давление на конструкцию.
Реакции опор
Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.
Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:
Система координат
Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):
Распределенная нагрузка
Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.
Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:
То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:
Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.
Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:
Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:
[ { V }_{ A }=0quad приquad x=0 ]
[ { V }_{ B }=0quad приquad x=8м ]
Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:
[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… ]
Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:
[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … ]
Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:
[ E{ I }_{ z }{ V }_{C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ theta }_{ A }cdot 4+… ]
Учет внешней нагрузки
И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:
- Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:
- Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:
[ Mcdot frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } ]
- Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:
[ Fcdot frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } ]
- Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:
[ qcdot frac { { x }^{ 4 } }{ 24 } ]
Откуда такие цифры и степени взялись? Все эти вещи вытекают при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии балки, в методе начальных параметров все эти выводы опускаются, то есть он является как бы упрощенным и универсальным методом.
Формулы прогибов
С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:
[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ theta }_{ A }cdot 4+frac { { R }_{ A }cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -frac { Fcdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -frac { qcdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } ]
В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.
Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:
[ E{ I }_{ z }{ V }_{ B }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+E{ I }_{ z }{ theta }_{ A }cdot 8+frac { { R }_{ A }cdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -frac { Fcdot { 8 }^{ 3 } }{ 6 } -frac { qcdot 6^{ 4 } }{ 24 } +frac { qcdot 2^{ 4 } }{ 24 } =0 ]
Упрощаем уравнение:
[ E{ I }_{ z }{ theta }_{ A }cdot 8+874.67=0 ]
Выражаем угол поворота:
[ { theta }_{ A }=-frac { 874.67 }{ 8E{ I }_{ z } } =-frac { 109.33кН{ м }^{ 2 } }{ E{ I }_{ z } } ]
Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:
[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=frac { -109.33cdot 4E{ I }_{ z } }{ E{ I }_{ z } } +frac { { R }_{ A }cdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -frac { Fcdot { 4 }^{ 3 } }{ 6 } -frac { qcdot { 2 }^{ 4 } }{ 24 } =-frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } ]
Вычисление прогиба
Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:
[ { V }_{ C }=-frac { 280кН{ м }^{ 3 } }{ E{ I }_{ z } } =-frac { 280cdot { 10 }^{ 9 }Нcdot { см }^{ 3 } }{ 2cdot { 10 }^{ 7 }frac { Н }{ { см }^{ 2 } } cdot 7080{ см }^{ 4 } } =-2см ]
Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.
Метод начальных параметров
Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)
Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:
- в опорах прогибы равны нулю;
- в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.
Учитывая эти хитрости, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.
Пример расчет балки на прогиб
Рассмотрим задачу из курса сопромата.
Дано: балка четырехугольного сечения 20 на 30 см; поперечная сила Q = 19 кН; изгибающий момент М = 28 кНм.
Необходимо рассчитать напряжение: нормальное и в пределе К, отдаленной на 11 см от оси, узнать прочность бруса из дерева, при [σ] = 10 МПа, [τ] = 3 МПа.
Решение.
Чтобы узнать σ(К), τ(К), σmax, τmax определяем значение осевого момента инерции общего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсеченного ряда и статического момента середины сечения Smax:
Из этого следует:
Определение прочности по нормальному напряжению:
Определение прочности по касательному напряжению:
Задача решена.
При проектировании конструкций важно соблюдать все физико-механические вычисления на прочность. Удобно и качественно произвести расчеты может онлайн, что существенно сократит временные сроки.
Калькулятор выполняет подробный подсчет на основе формул, эпюр усилий, подбирает номер сечения металлической балки из прокатных профильных, двутавровых материалов, а также из металлических труб.
Чтобы понять процесс расчета жесткости балки и ее максимального прогиба, можно использовать простой пример проведения расчетов. Данный расчет проводится для балки с такими характеристиками:
- материал изготовления – древесина;
- плотность составляет 600 кг/м3;
- длина составляет 4 м;
- сечение материала составляет 150*200 мм;
- масса перекрывающих элементов составляет 60 кг/м²;
- максимальная нагрузка конструкции составляет 249 кг/м;
- упругость материала составляет 100 000 кгс/ м²;
- J равно 10 кг*м².
Для вычисления максимальной допустимой нагрузки учитывается вес балки, перекрытий и опор. Рекомендуется также учесть вес мебели, приборов, отделки, людей и других тяжелых вещей, который также будут оказывать воздействие на конструкцию. Для расчета потребуются такие данные:
- вес одного метра балки;
- вес м2 перекрытия;
- расстояние, которое оставляется между балками;
- временная нагрузка;
- нагрузка от перегородок на перекрытие.
Чтобы упросить расчет данного примера, можно принять массу перекрытия за 60 кг/м², нагрузку на каждое перекрытие за 250 кг/м², нагрузки на перегородки 75 кг/м², а вес метра балки равным 18 кг. При расстоянии между балками в 60 см, коэффициент k будет равен 0,6.
Если подставить все эти значения в формулу, то получится:
q = ( 60 + 250 + 75 ) * 0,6 + 18 = 249 кг/м.
Для расчета изгибающего момента следует воспользоваться формулой f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].
Подставив в нее данные, получается f = (5 / 384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5 / 384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,0000063744 = 0,00083 м = 0,83 см.
Именно это и является показателем прогиба при воздействии на балку максимальной нагрузки. Данные расчеты показывают, что при действии на нее максимальной нагрузки, она прогнется на 0,83 см. Если данный показатель меньше 1, то ее использование при указанных нагрузках допускается.
Использование таких вычислений является универсальным способом вычисления жесткости конструкции и величины их прогибания. Самостоятельно вычислить данные величины достаточно легко. Достаточно знать необходимые формулы, а также высчитать величины. Некоторые данные необходимо взять в таблице. При проведении вычислений крайне важно уделять внимание единицам измерения. Если в формуле величина стоит в метрах, то ее нужно перевести в такой вид. Такие простые ошибки могут сделать расчеты бесполезными. Для вычисления жесткости и максимального прогиба балки достаточно знать основные характеристики и размеры материала. Эти данные следует подставить в несколько простых формул.
Подробнее о примере
Алгоритм работы программы для расчета балок основывается на СП 64.13330.2011 (Актуализированная редакция СНиП II-25-80). Для большей наглядности, мы разберем расчет однопролетной балки на прогиб и прочность в примере, кратко описывая основные этапы вычисления и формулы.
Длина балки
Расчетная длина балки определяется значением длины пролета и запасом для укладывания их на стену.
Узнать протяженность между пролетами не составляет трудности – с помощью рулетки замерьте расстояние, которые необходимо перекрыть балками, и к полученному числу добавьте величину заделки в «гнезда» равную 300 мм (по 150 мм на сторону) или более.
В случае, когда вы собираетесь крепить балки на специальные металлические крепления, длина пролета будет равна длине балки.
Если ваше помещение имеет неправильную форму, например, 4х5 м, правильнее будет использовать балки меньшей длины, т.е. 4 м, а не 5 м.
Определение расчетной нагрузки
Для того чтобы правильно рассчитать нагрузку на деревянную балку, нужно определить все виды оказываемых воздействий на перекрытие.
Величину нагрузки можно узнать двумя путями: использовать СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия и с его помощью высчитать все необходимые коэффициенты вручную, а затем сложить их, или же можно взять нормативные данные из справочников. Если вы произведете все расчеты правильно, то первый вариант будет более точен, однако никто не застрахован, что при выполнении долгих громоздких вычислений не будет допущена ошибка.
Поэтому для получения приблизительного расчета, целесообразнее взять стандартные величины и применять их в последующих формулах. Согласно справочникам, для межэтажных перекрытий расчетная нагрузка обычно составляет 400 кг/м2, а для чердаков – 200 кг/м2.
Типовые нагрузки для межэтажных перекрытий — 400 кг/м2 и чердаков – 200 кг/м2 применимы не во всех ситуациях. Если подразумевается, что на основание будет воздействовать ненормально большой вес, например, от тяжелого оборудования – необходимо произвести корректировку начальных параметров.
Максимальный изгибающий момент
Изгибающий момент – момент внешних сил относительно нейтральной оси сечения балки или другого твёрдого тела, иначе простыми словами, это произведение силы на плечо.
Максимальный изгибающий момент, соответственно, принимает наибольшее значение, которое может выдержать данное тело без нарушения целостности.
Если на балку будет действовать равномерно распределенная нагрузка (в калькуляторе реализован именно этот случай), то значение максимального изгибающего момента будет равно:
Изгибающий момент (формула): Mmax = q × l2 / 8
- q – величина нагрузки на перекрытие;
- l – величина пролета перекрытия.
Требуемый момент сопротивления
Момент сопротивления – это способность материала оказывать сопротивления к изгибу, растяжению или сжатию. Для того чтобы определить это значение для деревянной балки, нужно воспользоваться готовой формулой:
Требуемый момент сопротивления (формула): Wтреб = Мmax / R
- Мmax – величина максимального изгибающего момента;
- R – величина расчетного сопротивления древесины.
Отдельно нужно рассказать о величине R. Она имеет целый ряд поправочных коэффициентов, которые нужно учитывать при расчете балки, если вы хотите получить максимально точный результат. Полная формула выглядит так:
Расчетное сопротивление древесины (формула): R = Rи × mп × mд × mт × ma × γсc × …
- Rи – расчетное сопротивление древесины изгибу, подбираемое в зависимости от расчетных значений для сосны, ели и лиственницы при влажности 12% согласно СП 64.13330.2011;
- mп – коэффициент перехода для других пород древесины;
- mд – поправочный коэффициент принимаемый в случае, когда постоянные и временный длительные нагрузки превышают 80% суммарного напряжения от всех нагрузок;
- mт – температурный коэффициент;
- ma – коэффициент принимаемый в случае, когда дерево подвергается пропитке антипиренами;
- γсc – коэффициент срока службы древесины.
- … – существуют другие менее важные коэффициенты, однако при расчетах они практически не используются, так как величина поправки слишком незначительна.
Получается, что по сути, величина R это произведение расчетного сопротивления древесины изгибу и различных поправок. В большинстве случаев для получения ориентировочного результата, эти поправки не учитываются, а значение R принимается равным Rи.
Момент сопротивления балки перекрытия
В зависимости от формы сечения балки (квадрат, прямоугольник, круг, овал…) формулы нахождения фактического момента сопротивления будут отличаться. В наших калькуляторах применяются только два типа профиля: прямоугольный и тесаное бревно. Мы продолжим разбирать алгоритм на примере прямоугольного сечения:
Момент сопротивления балки (формула): W = b × h2 /6
- b – ширина балки;
- h – высота балки.
Упрощенный расчет (по готовым формулам)
Расчет производится по формулам расчетной схемы 2.1 для шарнирной балки.
Определение опорных реакций:
А = B = ql/2 = 3.2·4.6/2 = 7.36 кН (671.1)
Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет «Q» = 7.36 кН. Действовать эта поперечная сила будет на опорах балки
Определение максимального изгибающего момента:
Максимальный изгибающий момент будет действовать посредине пролета балки и он составит:
М = ql2/8 = 3.2·4.62/8 = 8,464 кНм (671.2)
Подбор сечения балки:
Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:
Wтр = M/R = 8.464/13000 = 0.000651077 м3 (651.077 см3) (671.3.1)
Как правило поперечные сечения деревянных балок имеют прямоугольную форму. Момент сопротивления прямоугольного сечения определяется по следующей формуле:
W = bh2/6 (671.3.2)
Дальше возможны различные варианты, например при высоте сечения балки h = 20 см требуемая ширина сечения составит не менее:
b = 6W/h2 = 6·651.77/202 = 9.77 см (671.3.3)
По сортаменту таким требованиям удовлетворяет балка с сечением 20х10 см.
Если поперечное сечение деревянной балки имеет форму, отличную от прямоугольной или квадратной, то для определения момента сопротивления можно воспользоваться одной из следующих формул, а при особо сложной форме сечения сначала определить момент инерции, а потом уже момент сопротивления.
Для стальной балки с расчетным сопротивлением R = 245 Мпа (245000) кПа) требуемый момент сопротивления составляет:
Wтр = M/R = 8.464/245000 = 3.45·10-5 м3 (34.5 см3) (658.3.7)
Далее требуемое сечение подбирается по одному из сортаментов.
Проверка по касательным напряжениям (для деревянной балки):
Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон (для древесины второго сорта) Rск = 1.6 МПа.
Для прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения определяются по следующей формуле:
т = 1.5″Q»/bh = 1.5·7.36/(0.1·0.2) = 552 кПа (0.552 МПа) < 1.6 МПа (671.4)
Требование по касательным напряжениям соблюдено.
Для сечений другой формы значение касательных напряжений определяется по формуле Журавского.
Стандартные стальные профили в дополнительной проверке по касательным напряжениям как правило не нуждаются.
Определение прогиба
Для деревянной балки сечением 20х10 см момент инерции составит:
I = Wh/2 = 666.66·20/2 = 6666.6 см4 (0.00006666 м4) (671.5.1)
Модуль упругости древесины составляет Е = 1·104 МПа (107 кПа)
f = 5Ql4/(384EI) = 0.02798 м (2.798 см) (671.5.2)
В данном случае прогиб составляет 1/164 от длины пролета балки.
Вот собственно и весь упрощенный расчет.
Методика расчета балок перекрытия из клееного бруса и отесанного бревна
Технология расчета балок перекрытия из клееного бруса практически не отличается от изделий из цельной древесины. Все этапы работы с калькулятором совпадают и никакие дополнительные коэффициенты вводить не нужно, но при самостоятельном вычислении в формулу нахождения величины расчетного сопротивления (R), нужно будет добавить дополнительный коэффициент kw , который учитывает форму и размер поперечного сечения.
Например, для прямоугольных клееных балок принимаются следующие поправки:
Ширина балки b в см | Коэффициент kw при высоте балки h см | |||||
14-50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 и более | |
b < 14 | 1,00 | 0,95 | 0,90 | 0,85 | 0,80 | 0,75 |
b > 14 | 1,15 | 1,05 | 0,95 | 0,90 | 0,85 | 0,80 |
Также для клееных балок из шпона LVL Ultralam, существует более подробная аннотация с характеристиками на сайте производителя, в которой помимо значений величины R, существует подробные характеристики модуля упругости (E) для каждого вида продукции:
Модуль упругости Е, МПа | ||||
Rb | Rs | R | X | I |
16 000 | 15 600 | 14 000 | 11 000 | 12 700 |
В случае расчета тесаного бревна (лафета), немного изменяются исходные формулы момента сопротивления и момента инерции, так как форма сечения балки отличается от прямоугольной. Помимо этого, есть и отличия в ширине отеса, оно может быть равным половине или трети диаметра, что также приводит к изменению начальных коэффициентов для обеих формул.
Ширина отеса равна 1/2 диаметра | Ширина отеса равна 1/3 диаметра |
Момент сопротивления | |
W = 0,088D3 | W = 0,09781D3 |
Момент инерции | |
I = 0,039D4 | I = 0,04611D4 |
Способы выполнить расчет и проверку на прогиб
Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.