Формула полной вероятности и Байеса

Краткая теория

Следствием двух основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и теоремы умножения — являются формула для полной вероятности и формула Байеса.

Формула полной вероятности

Если событие происходит только в том случае, если возникает одно из событий, образующих полную группу несовместимых событий, вероятность события равна сумме произведений вероятностей каждого из событий и соответствующей условной вероятности портфеля .

В этом случае события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса

Формула Байеса используется при решении практических задач, когда произошло событие, которое возникает вместе с любым из событий, образующих полную группу событий, и необходимо провести количественную переоценку вероятностей гипотез. Известны априорные вероятности (до эксперимента). Необходимо вычислить апостериорные вероятности (после эксперимента), т.е по сути необходимо найти условные вероятности. Формула Байеса выглядит так:

Формула Байеса позволяет вам «изменить порядок причин и следствий»: исходя из известного факта события, вычислить вероятность того, что оно было вызвано определенной причиной.

Примеры решения задач

Пример 1

На заводе машины 1, 2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их изделиях брак составляет 6%, 4%, 2% соответственно. Какова вероятность того, что случайно выбранный товар окажется бракованным? Какова вероятность того, что: а) машина 1 изготовлена; б) машина 2; в) автомат 3?

Решение

Мы указываем в случае обнаружения дефекта стандартного продукта.

Событие может произойти только в том случае, если произойдет одно из трех событий:

• продукт изготовлен на станке №1;
• изделие изготовлено на станке 2;
• изделие изготовлено на станке 3;

Запишем условные вероятности:

Если событие может произойти только тогда, когда происходит одно из событий, которые образуют полную группу несовместимых событий, вероятность события рассчитывается по формуле

Используя формулу для полной вероятности, находим вероятность события :

1. Вероятность того, что на машине 1 был изготовлен бракованный продукт:
2. Вероятность того, что на станке 2 был изготовлен бракованный продукт:
3. Вероятность того, что на станке был изготовлен бракованный продукт 3:

Пример 2

Группа состоит из 1 отличника, 5 отличников и 14 учеников средней квалификации. Отличник отвечает на 5 и 4 с равной вероятностью, хороший ученик отвечает на 5, 4 и 3 с равной вероятностью, а плохой ученик отвечает на 4.3 и 2 с равной вероятностью. Случайно выбранный ученик ответил 4. Какова вероятность того, что вызвали плохого ученика?

Решение

Возможны следующие гипотезы:

• ответил отличник;
• ответил хороший человек;
• ответил посредственный студент;

Пусть студенческое мероприятие получит 4.

Условные вероятности:

1. Согласно формуле полной вероятности, вероятность события равна :
2. Используя формулу Байеса, находим вероятность того, что посредственного студента назвали:

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется соотношением:

P (A) = m (A) / m (G), где m (G) и m (A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и событий A соответственно

Очень часто в одномерном случае говорят о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке между 12.00 и 13.00 и подождать 5 минут?

Как мы решаем:

• A — состоится встреча с другом, x и y — время прибытия. Средства:
  0 х, у 60.
• В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, находящиеся внутри квадрата OABS. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:
  у — х <5, у> х
  х — у <5, х> у.
• Этим неравенствам удовлетворяют точки области G, выделенные красным:
  
• Тогда вероятность встречи равна соотношению площадей области G и квадрата:
  P (A) = SG / SOABC = 60 * 60 — 55 * 5560 * 60 = 23144 = 0,16

Ответ: 0,16

Классическое определение вероятности

Вероятность события А в некоторых тестах — это соотношение:

P (A) = m / n, где n — общее количество всех равновозможных элементарных исходов этого теста, а m — количество элементарных исходов, благоприятных для события A

Вероятностные свойства:

• Вероятность определенного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события — это положительное число от нуля до единицы.

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

• 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 с вишней. Какова вероятность достать белый шоколад из пакета?

Как мы рассуждаем:

Поскольку в пакете нет белых шоколадных конфет, m = 0, n = 15. Следовательно, желаемая вероятность равна нулю:

P = 0/15 = 0

Плохая новость для любителей белого шоколада: в этом примере мероприятие «принести конфеты из белого шоколада» невозможно.

Ответ: 0.

Пример 2. Карта вытягивается из колоды из 36 карт. Какова вероятность выпадения карты Червы?

Как мы рассуждаем:

Количество элементарных исходов, т.е количество карточек — 36 (n). Количество благоприятных для появления карты червей (A) событий — 9 (m).

Следовательно:

Ответ: 0,25.

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение (по схеме Бернулли) помогает выяснить, какое количество наступлений события А более вероятно. Формула для наиболее вероятного количества успехов k (наступления событий) выглядит так:

np — q ≤ k ≤ np + p, где q = 1 — p

Поскольку np — q = np + p — 1, эти границы отличаются на 1. Следовательно, k, которое является целым числом, может принимать одно из двух значений, когда np является целым числом (k = np), то есть когда np + p (и, следовательно, np — q) является нецелым числом или двумя значениями, когда np — q является целым числом.

Пример. В очень большом секретном чате 730 человек. Вероятность того, что день рождения случайного участника чата выпадает на определенный день в году, составляет 1/365 для каждого из 365 дней. Мы находим наиболее вероятное количество счастливчиков, родившихся 1 января.

Как мы решаем:

1. Задано условием: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
2. нп — г = 366/365
3. np + p = 731/365
4. 366/365 м ≤ 731/365
5. м = 2

Ответ: 2.

Сложение и умножение вероятностей

Немного теории:

• Событие A называется частным случаем события B, если, когда происходит A, также происходит B. Тот факт, что A является частным случаем события B, можно записать следующим образом: A ⊂ B.
• События A и B называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий A и B записывается следующим образом: A = B.
• Сумма событий A и B называется событием A + B, которое происходит, когда происходит хотя бы одно из событий: A или B.

Теорема о сумме вероятностей выглядит так: вероятность наступления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

Эта теорема верна для любого количества несовместимых событий:

Если случайные события A1, A2,…, An образуют полную группу несовместимых событий, то верно равенство:

• P (A1) + P (A2) +… + P (An) = 1. Такие события (гипотезы) используются при решении задач с полной вероятностью.

Результатом событий A и B является событие AB, которое происходит, когда оба события A и B происходят одновременно. Случайные события A и B называются объединенными, если оба эти события могут произойти во время данного теста.

Вторая теорема о сумме вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P (A + B) = P (A) + P (B) — P (AB)

События событий A и B называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Говорят, что событие A зависит от события B, если вероятность события A изменяется в зависимости от того, произошло ли событие B или нет.

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения независимых событий A и B рассчитывается по формуле:

P (AB) = P (A) * P (B)

Пример. Студент ищет нужную формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности, которые содержит формула:

1. в едином справочнике;
2. всего в двух справочниках;
3. во всех трех справочниках.

Как мы рассуждаем:

1. формула содержится в первом справочнике;
2. формула содержится во втором справочнике;
3. формула содержится в третьем справочнике.

Мы используем теоремы сложения и вероятностного умножения.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что один и тот же тест повторяется много раз, и результат каждого теста не зависит от результатов других. Такой эксперимент называется схемой независимого повторного тестирования или схемой Бернулли.

Примеры повторов:

• Мы бросаем кубик, где шансы получить определенное число одинаковы при каждом броске.
• Включаем лампы с равной заданной вероятностью выхода из строя каждой.
• Лучник повторяет выстрелы по одной и той же цели при условии, что вероятность успеха при каждом выстреле одинакова.

Следовательно, в результате теста возможны два исхода: либо произойдет событие А, либо противоположное событие. Мы выполняем n тестов Бернулли. Это означает, что все n тестов независимы. И вероятность наступления события А в каждом случае постоянна и не меняется от теста к тесту.

• Обозначим вероятность наступления события A в одном тесте буквой p, что означает:
  p = P (A) и вероятность противоположного события (событие A не произошло) — буквой q
  q = P (¯A) = 1 — p.
• Тогда вероятность того, что событие A появится в этих n тестах ровно k раз, выражается формулой Бернулли:
  Pn (k) = Cnk * pk * qn-k, где q = 1 — p.

Биномиальное распределение — распределение количества успехов (наступлений события).

Пример. Среди видеороликов, которые делает блогер, в среднем 4% некачественных: либо плохой свет, то пропал звук, либо не лучший ракурс. Мы находим вероятность, что из 30 роликов два будут нестандартными.

Как мы рассуждаем:

Опыт заключается в проверке качества каждого из 30 видеороликов. Событие A — это своего рода сбой (свет, угол, звук), его вероятность p = 0,04, поэтому q = 0,96. Отсюда, используя формулу Бернулли, можно найти ответ:

Ответ: Вероятность плохого видео составляет около 0,202. Молодец блогер

Формула Пуассона

При большом количестве доказательств n и малой вероятности p пользоваться формулой Бернулли неудобно. Например, 0,97999 вычислить сложно.

В этом случае формула Пуассона используется для вычисления вероятности того, что событие произойдет k раз за n тестов:

Здесь λ = np обозначает среднее количество наступлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p 0,1 и np ≤ 10.

События, для которых применима формула Пуассона, считаются редкими, поскольку вероятность их возникновения очень мала (обычно порядка 0,001–0,0001).

Для больших np рекомендуется использовать формулы Лапласа, которые мы рассмотрим чуть позже.

Пример. В iPhone есть 1000 различных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента за время T составляет 0,002. Найдите вероятность того, что ровно три элемента выйдут из строя за время T.

Как мы решаем:

• По условию задано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
• Вероятность, необходимая после подстановки в формуле:

P1000 (3) = λ3 / 3! * и — = 23/3! * и — 2 0,18.

Ответ: около 0,18.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие A может произойти только тогда, когда происходит одно из событий B1, B2,…, Bn, которые составляют полную группу несовместимых событий, вероятность события A рассчитывается с использованием формулы полной вероятности:

Снова рассмотрим множество несовместимых событий B1, B2,…, Bn, вероятности которых равны P (B1), P (B2),…, P (Bn). Событие A может происходить только вместе с любым из событий B1, B2,…, Bn, которые называются гипотезами. Следовательно, согласно формуле полной вероятности: если событие A произошло, оно может изменить вероятности гипотез P (B1), P (B2),…, P (Bn). По теореме умножения вероятностей: следовательно, аналогично для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называют апостериорными вероятностями, а априорными вероятностями.

Пример. Один из трех стрелков вызывается на линию огня, производит два выстрела. Вероятность поражения цели одним выстрелом для первого стрелка составляет 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найдите вероятность того, что выстрелил первый стрелок.

Как мы рассуждаем:

• Возможны три гипотезы:

1. А1 — Первый стрелок вызван на огневой рубеж,
2. А2 — второй стрелок вызван на огневой рубеж,
3. A3 — Третий стрелок вызван на огневой рубеж.

• Поскольку вызов на линию огня любого стрелка одинаково возможен, то
• В результате эксперимента наблюдалось событие B: после произведенных выстрелов цель не попала. Условные вероятности этого события согласно нашим гипотезам:
• Используя формулу Байеса, находим вероятность гипотезы A1 после эксперимента:

Ответ: 0,628.