- Скалярное поле
- Производная по направлению
- Градиент скалярного поля и его свойства
- Векторное поле
- Поток поля
- Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
- История открытия
- Смысл формулы Остроградского
- Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме
- Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков
- Циркуляция поля
- Ротор поля. Формула Стокса
- Оператор Гамильтона
- Векторные дифференциальные операции второго порядка
- Некоторые свойства основных классов векторных полей
- Соленоидальное поле
- Потенциальное поле
- Гармоническое поле
Скалярное поле
Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x,y,z). Для наглядного представления скалярного поля используют поверхности и линии уровня.
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(М) принимает постоянное значение, т. е.
Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, получим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в уравнение (70.1).
Для скалярного поля, образованного функцией
поверхностями уровня является множество концентрических сфер с центрами в начале координат:
В частности, при с = 1 получим , т. е. сфера стягивается в точку.
Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.
В случае плоского поля U — U(х; у) равенство U(x; у) = с представляет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня —это линия на плоскости Оху, в точках которой функция U (х; у) сохраняет постоянное значение.
В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями уровня и представляют собой функции координат точек местности.
Линии уровня применяются в математике при исследовании поверхностей методом сечений.
Производная по направлению
Для характеристики скорости изменения поля U =U(М) в заданном направлении введем понятие «производной по направлению».
Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки М в произвольном направлении . Пусть вектор
имеет начало в точке М и направляющие косинусы
Приращение функции U, возникающее при переходе от точки М к некоторой точке
в направлении вектораопределяется как
или
(см. рис. 268).
Тогда
Производной от функцииU = U(M)в точке М по направлениюназывается предел
Производная по направлению
и характеризует скорость изменения функции (поля) в точке М по этому направлению. Если > 0, то функция U возрастает в направлении
, если
< 0, то функция U в направлении
убывает. Кроме того, величина
представляет
собой мгновенную скорость изменения функции U в направлении в точке М: чем больше
, тем быстрее изменяется функция U. В этом состоит физический смысл производной по направлению.
Выведем формулу для вычисления производной по направлению, считая, что функция U(x;y;z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное приращение в этой точке М можно записать так:
где — бесконечно малые функции при
(см. п. 44.3). Поскольку
то
Переходя к пределу при
получим формулу для вычисления производной по направлению:
В случае плоского поля U = U(x;y) имеем:
Формула (70.2) принимает вид:
Замечание:
Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных
Их можно рассматривать как производные от функции и по направлению координатных осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление
совпадает с положительным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2)
получим
Пример:
Найти производную функции
в точке М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке
Решение:
Находим вектор
и его направляющие косинусы:
Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке М:
Следовательно, по формуле (70.2) имеем:
Поскольку jj^- < 0, то за
данная функция в данном направлении убывает.
Градиент скалярного поля и его свойства
В каком направлении
производная
имеет наибольшее значение? Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного поля.
Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет собой скалярное произведение единичного вектора
и некоторого вектора
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U(x,y,z) в точке M(x;y,z), называют градиентом функции и обозначают gradU, т. е.
или
Отметим, что grad U есть векторная величина. Говорят: скалярное поле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (70.2) можно записать в виде
или
где
угол между вектором grad U и направлением
(см. рис. 269).
Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда
Таким образом, направление градиента совпадает с направлением А, вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшая скорость изменения функции U в точке М равна
В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве градиента основано его широкое применение в математике и других дисциплинах.
Приведем важные свойства градиента функции.
Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.
Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня
Но тогда из (70.3) следует, что
Доказываются эти свойства на основании определения градиента. Докажем, например, последнее свойство. Имеем:
Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются справедливыми и для плоского поля.
Пример:
Найти наибольшую скорость возрастания функции
Решение:
Имеем:
Наибольшая скорость возрастания функции равна
Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью , если точка А движется в направлении
(антиградиентное направление).
Векторное поле
Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором . Изучение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простейшими геометрическими характеристиками поля.
Векторной линией поля
называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора
.
Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.
Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некоторую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинают с изучения расположения его векторных линий. Векторные линии поля
описываются системой дифференциальных уравнений вида
Действительно, пусть PQ — векторная линия поля, — ее радиус-вектор. Тогда вектор
направлен по касательной к линии PQ в точке М (см. рис. 270). В силу коллинеарности векторов
следует пропорциональность их проекций, т. е. равенства (71.2).
Пример:
Найти векторные линии поля линейных скоростей тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью
вокруг оси Oz.
Решение:
Это поле определено вектором
(см. пример 69.2). Согласно (71.2), имеем:
Интегрируя, получим:
т. е. векторные линии данного поля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.
Поток поля
Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядности будем считать
вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.
Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть
— единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки
Выберем в каждой площадке точку
(см. рис. 271) и вычислим значения вектора скорости
в каждой точке: ..
Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через
протекает количество жидкости, приближенно равное — площадь i-й площадки,
— высота i-гo цилиндра с образующей
. Но Я, является проекцией вектора
на нормаль — единичный вектор нормали к поверхности в точке
. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму
Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров
площадок):
Независимо от физического смысла поля полученный интеграл называют потоком векторного поля.
Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т. е.
Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как
(см. (6.2)), то
где — проекция вектора а на направление нормали
— дифференциал (элемент) площади поверхности.
Иногда формулу (71.3) записывают в виде
где векторнаправлен по нормали к поверхности, причем
Так как
— проекции вектора
на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора
, можно записать в виде
Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. формулу (58.8)), поток вектора можно записать как
Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде
В этом случае за направление вектора п обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S (см. рис. 272).
Если векторное поле
есть поле скоростей текущей жидкости, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с вектором острый угол и
в точках, где векторные линии входят в объем,
).
При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.
Если К < 0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.
Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки — точки, где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком — отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).
Если К = 0, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.
Пример:
Найти поток вектора
через верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости Зх + 6у — 2z — 6 =0 с координатными плоскостями (см. рис. 274).
Решение:
Поток найдем методом проектирования на три координатные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:
Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем сведем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой, а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть
на верхней стороне
поэтому надо выбрать знак «минус»; получим:
Итак,
Находим
В результате имеем:
Пример:
Найти поток радиус-вектора
через внешнюю сторону поверхности прямого конуса, вершина которого совпадает с точкой O(0; 0;0), если известны радиус основания R и высота конуса H (см. рис. 275).
Решение:
Очевидно, что
т. к.
Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
Важной характеристикой векторного поля (71.1) является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля.
Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля
в точке М называется скаляр вида
и обозначается символом
, т. е.
Отметим некоторые свойства дивергенции.
- Если
— постоянный вектор, то
где с = const.
т. е. дивергенция суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемых.- Если U — скалярная функция,
— вектор, то
Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.6). Докажем, например, справедливость свойства 4.
Так как
то
Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем известную в анализе (см. (58.9)) формулу Остроградского-Гаусса
в так называемой векторной форме.
Рассматривал область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, в векторном поле (71.1), можно утверждать, что левая часть формулы (71.7) есть поток вектора
через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора . Следовательно, формулу (71.7) можно записать в виде
(в котором она чаще всего и встречается).
Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему V, ограниченному данной поверхностью.
Используя формулу (71.8), можно дать другое определение дивергенции векторного поля
в точке М (не связанное с выбором координатных осей).
По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 54.1) имеем:
где — некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (71.8) можно переписать в виде
Отсюда
Пусть поверхность S стягивается в точку. Тогда , и мы получаем выражение для
в точке М:
Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел отношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку
Определение (71.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) определению (71.6).
Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле.
Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при
точка М представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, при
точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (71.9), величина
характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.
Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то
Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т. е.
называется соленоидалъным (или трубчатым).
Пример:
Найти дивергенцию поля линейных скоростей жидкости, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью
.
Решение:
Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как показано ранее (см. пример 69.2),
Имеем:
Поле — соленоидальное.
История открытия
Впервые формула Остроградского — Гаусса была упомянута Жозефом Лагранжем в 1762 году.
Далее основной способ приведения тройного интеграла к поверхностному был доказан Карлом Гауссом , который использовал в качестве основы для доказательства решение проблем в электродинамике. Произошло это в первой половине XIX века.
Далее формула в общем виде была представлена Михаилом Остроградским. С ее помощью стало возможно выразить значение дифференциала по параметру от N-кратного интеграла.
Смысл формулы Остроградского
Формула Остроградского-Гаусса соотносит тройной интеграл по пространственному объему с интегралом по поверхности на его грани. Она является аналогом формулы Грина, которая соотносит двойной интеграл по плоскости с криволинейным по ее границам.
Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме
Напомним формулу вектора электрической индукции:
D→=ε0E→+P→ со значением ε0 в качестве электрической постоянной, E→ — вектора напряженности, P→ — вектора поляризации.
Произведем подстановку формулы D→=ε0E→+P→ в div D→=ρ:
div D→=div ε0E→+P→=ε0div E→+div P→.
При использовании теоремы Остроградского-Гаусса дифференциального вида, получим:
div E→=1ε0ρ-div P→.
Для вектора напряженности вышеуказанная формула примет вид в присутствии диэлектрика:
div E→=1ε0ρ+ρsv с ρsv, являющейся плотностью заряда. В этом случае необходимо применить div E→=1ε0ρ+ρsv и div E→=1ε0ρ-div P→:
div P→=-1ε0csv.
Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков
Теорема Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике выглядит также, как и для напряженности поля в вакууме. Отсюда следует, что математические соотношения, получившиеся для E→ поля в вакууме, аналогичны записям для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор D→.
Пример 1
Дан диэлектрический шар, имеющий диэлектрическую проницаемость ε1, равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда ρ. Его нахождение в среде обусловлено наличием диэлектрической проницаемости ε2. Изобразить график напряженности поля шара от расстояния до его центра.
Решение
Поле, создаваемое шаром по заданным условиям, имеет сферическую симметрию. Необходимо рассмотреть его внутри шара r≤R. Для нахождения E(r) выбирается сферическая поверхность с радиусом меньше сферы. По теореме Остроградского-Гаусса:
E·S=qε1ε0, где S — площадь поверхности сферы, которая была выделена. Отсюда следует:
S=4πr2.
Заряд, находящийся внутри сферы, ищем из формулы:
q=ρV=ρ43πr3.
Очевидно, что будут происходить изменения напряженности поля внутри шара r≤R, согласно выражениям:
E·4πr2=ρ43πr3ε1ε0,
E=ρr3ε1ε0.
Перейдем к рассмотрению поля вне шара r≥R. Для нахождения E(r) выбираем сферическую поверхность с радиусом больше радиуса сферы. По теореме Остроградского-Гаусса получим:
E·S=qε2ε0, где S обозначает площадь поверхности выделенной сферы. Отсюда следует:
S=4πr2.
Формула S=4πr2 имеет r≥R. Поэтому находящийся внутри заряд выделенной сферы находится из:
q=ρV=ρ43πR3.
Далее следует подставить площадь из S=4πr2, заряд из q=ρV=ρ43πR3, подставив в E·S=qε2ε0:
E·4πr2=ρ43πR3ε2ε0.
E=ρR33ε2ε0r2.
В результате запишем:
E=ρr3ε1ε0 при r≤R,E=ρR33ε2ε0r2 при r≥R.
Рисунок1
Ответ: графики показаны на рисунке 1. Внутри шара напряженность увеличивается прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара она равняется E~1r2. На границе диэлектриков происходит разрыв. Кривая под номером 1 соответствует условию ε1>ε2.
Пример 2
Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: 1) все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, 2) произвести замену сферической поверхности на кубическую?
Решение
- По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:
ΦE=∮SE→dS→=1ε0q+∑j=1Kqjsv, со значением qjsv в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, q в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.
Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:
ΦE=∮SE→dS→=1ε0q.
- Поле было создано при помощи точечного свободного заряда, то при замене формы поверхности потока вектор напряженности не будет изменяться, потому как равняется аналогичным значению заряда, находящегося на поверхности.
Ответ:
- изменится,
- не изменится.
Циркуляция поля
Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление.
Пусть — радиус-вектор точки М на контуре L. Известно, что вектор
направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и — дифференциал дуги кривой
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора
на вектор , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
где — проекция вектора
на касательную
, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство (71.10) можно записать в виде
или
Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L (п.56.5).
Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведение
сохраняет знак: положительный, если направление вектора
совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в противном случае.
Пример:
Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей вращающегося тела (см. пример 69.2)
вдоль замкнутой кривой L, лежащей в плоскости , перпендикулярной оси вращения.
Решение:
Будем считать, что направление нормали к плоскости
совпадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (71.12), имеем:
где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 56.17).
Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол с осью Oz, то циркуляция будет равна
с изменением угла
величина С изменяется.
Пример:
Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль периметра треугольника с вершинами A(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1) (см. рис. 277).
Решение:
Согласно формуле (71.12), имеем:
На отрезке AB: x + у = 1, z = 0, следовательно,
На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,
На отрезке СА: х + z = 1, у = 0, следовательно,
Следовательно,
Ротор поля. Формула Стокса
Ротором (или вихрем) векторного поля
называется вектор, обозначаемый
и определяемый формулой
Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания:
Отметим некоторые свойства ротора.
- Если
— постоянный вектор, то
т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых.- Если U — скалярная функция, а
— векторная, то
Эти свойства легко проверить, используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3:
Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем известную в математическом анализе (см. п. 58.4) формулу Стокса:
Левая часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора
по контуру L, т. е.
(см. (71.11)). Интеграл в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора
через поверхность S, ограниченную контуром L (см. (71.3)), т. е.
Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде
Такое представление формулы Стокса называют ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на контуре L и выбор стороны у поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса.
Формула (71.15) показывает, что циркуляция вектора
вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора
через поверхность S, лежащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую на контур) (см. рис. 278).
Используя формулу (71.14), можно дать другое определение ротора поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной системы.
Для этого применим формулу Стокса (71.15) для достаточно малой плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.
По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 57.1, свойство 7) имеем:
где — некоторая (средняя) точка площадки S (см. рис. 279).
Тогда формулу (71.15) можно записать в виде
Отсюда:
Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда
Перейдя к пределу, получаем:
Ротором вектора в точке М называется вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектора а по контуру L плоской площадки S, перпендикулярной этому направлению, к площади этой площадки.
Как видно из определения, ротор вектора
есть векторная величина, образующая собственное векторное поле.
Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 69.2) , т. е. ротор вектора
По определению ротора
Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения.
С точностью до числового множителя ротор поля скоростей
представляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано само название «ротор» (лат. «вращатель»).
Замечание:
Из определения (71.13) ротора вытекает, что направление ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого направления, не совпадающего с нормалью к площадке S.
Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. п. 70.3).
Оператор Гамильтона
Векторные дифференциальные операции первого порядка:
Основными дифференциальными операциями (действиями) над скалярным полем U и векторным полем
являются gradU,
Действия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными операциями первого порядка (в них участвуют только первые производные).
Эти операции удобно записывать с помощью так называемого оператора Гамильтона
Этот символический вектор называют также оператором (читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение» вектора
на скаляр U или вектор
производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов
на величины
понимают как взятие соответствующей частной производной от этих величин.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка:
Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференцирования.
В частности, производная по направлению (70.2) может быть записана в виде
где
Векторные дифференциальные операции второго порядка
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторному полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот оператор. В результате получаются дифференциальные операции второго порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциальных операций второго порядка:
(Понятно, что операция например, не имеет смысла:
— скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о
бессмысленно.)
Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что оператор действует только на множитель, расположенный непосредственно за оператором.
Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной функции U и обозначается . Таким образом,
Дифференциальное уравнение Лапласа
играет важную роль в различных разделах математической физики. Решениями уравнения Лапласа являются так называемые гармонические функции.
Замечание. К равенству (72.1) можно прийти, введя в рассмотрение скалярный оператор дельта:
(который тоже называют оператором Лапласа).
2.
так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле безвихревое.
4.
так как смешанное произведение трех векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле вихря — соленоидальное.
так как двойное векторное произведение обладает свойством
Здесь
— векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к вектору .
Некоторые свойства основных классов векторных полей
Соленоидальное поле
Напомним, что векторное поле
называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е.
Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и другие.
Приведем некоторые свойства соленоидального поля.
- В соленоидальном поле
поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и стоков. - Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного поля, т. е. если
, то существует такое поле
, что
. Вектор
называется векторным потенциалом поля.
Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения соленоидального поля.
Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утверждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами доказано (выше мы показали, что ).
- В соленоидальном поле
поток вектора через поперечное сечение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностью трубки).
Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечениями
боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из
равен нулю. Следовательно,
где n — внешняя нормаль.
Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпендикулярна к векторам поля, то
и, следовательно,
Переменив направление нормали на площадке , т.е. взяв внутреннюю нормаль
получим:
В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает, что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно количеству жидкости, вытекающей из нее.
Потенциальное поле
Векторное поле
называется потенциальным (или безвихревым, или градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е.
Примером потенциального поля является электрическое поле напряженности точечного заряда (и другие).
Приведем основные свойства потенциального поля.
- Свойство 1. Циркуляция потенциального поля
по любому замкнутому контуру в этом поле равна нулю.
Это непосредственно вытекает из формулы (71.14). Следовательно,
В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.
- Свойство 2. В потенциальном поле
криволинейный интеграл
вдоль любой кривой L с началом в точке
и концом в точке
зависит только от положения точек
и не зависит от формы кривой.
Это свойство вытекает из свойства 1. Действительно, взяв в поле две точки
соединим их двумя кривыми так, чтобы контур
лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1, имеем
Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:
т. e.
- Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции U(x; y; z), т. е. если
, то существует функция U (х; у; z) такая, что
Из равенства
вытекает, что т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом некоторой функции U = U(x;y;z) (следствие 56.1). Эту функцию называют потенциалом векторного поля
Отсюда:
Следовательно,
т. е. вектор поля
является градиентом скалярного поля.
Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утверждение — поле градиента скалярной функции U = U(x;y; z) является потенциальным.
Из равенства
следует, что потенциальное поле определяется заданием одной скалярной функции U = U(x; у; z) — его потенциала. Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
где — координаты фиксированной точки, (x;y;z) — координаты произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого (из-за того, что grad (U + а) = grad U).
Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y,z) — проекции вектора поля на оси координат).
Замечание. Определение потенциального поля может быть дано иначе — векторное поле
называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля, т. е. . (Иногда пишут
<br>; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее нагретому и т. д.)
Пример:
Установить потенциальность поля
и найти его потенциал.
Решение:
Имеем:
Следовательно, поле вектора
потенциальное.
Найдем потенциал U по формуле (73.1), выбирая в качестве фиксированной точки начало координат, т. е.
Так как
то
Гармоническое поле
Векторное поле
называется гармоническим (или лапласовым), если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.
Так как поле
потенциально, то его можно записать в виде — потенциал поля.
Но так как поле одновременно и соленоидальное, то
или, что то же самое,
т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как уже упоминали, гармонической.