Формула геометрической прогрессии: сумма и примеры

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

,

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа 
(шаг либо разность прогрессии):

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность . При  она возрастает, а при  — убывает. Если , то последовательность — стационарная. Это следуют из соотношения  для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии

• Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером 
можно найти с помощью формулы:

, где  — 1-й член прогрессии,  — разность прогрессии.

•  Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность    — это арифметическая прогрессия  для элементов этой прогрессии выполняется условие:

.

•  Сумма 1-х  членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х   членов арифметической прогрессии  можно найти с помощью формул:

,где  — 1-й член прогрессии,  — член с номером ,  — число суммируемых членов.,где  — 1-й член прогрессии,  — разность прогрессии,  — число суммируемых членов.

• Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия  является расходящейся при  и сходящейся при . При этом:

•  Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть  — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид  является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

Примеры арифметических прогрессий

• Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой 
и .

•  Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой 
  и . В частности,  является арифметической прогрессией с разностью .
•  Сумма 1-х  натуральных чисел выражают формулой:

.

Арифметическая прогрессия, формулы

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел 
(членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число  (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия — это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда  и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при  — знак очередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Свойства геометрической прогрессии

• Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

• Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

,

• Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

• Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

• Если , то  при , и при .

Какие бывают геометрические прогрессии

В зависимости от знака и модуля знаменателя r выделяют 4 вида геометрической прогрессии:

• Возрастающая. Если r>1, тогда каждый последующий член будет больше предыдущего по модулю. Бесконечная сумма такого ряда стремится к бесконечности (или минус бесконечности, если 1-й член является отрицательным числом). Пример этой прогрессии рассмотрен в предыдущем пункте.
• Постоянная. Если r=1, то мы имеем обычный набор одинаковых чисел.
• Переменная. Если r<0 и |r|>1, то мы получаем последовательность, в которой два соседних члена отличаются по знаку. Например, 1, -3, 9, -27, 81, … Здесь r = -3.
• Убывающая. Если |r|<1, то с увеличением номера числа в ряду будет уменьшаться его абсолютное значение. Следующий ряд является ярким примером этого вида геометрической прогрессии: 100, 50, 25, 12,5 …, где знаменатель r = 0,5.

Примеры геометрических прогрессий

1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.
2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.
4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.
5. 
   — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Геометрическая прогрессия, формулы

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Сумма бесконечной прогрессии:

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

q = bn+1 / bn

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

bn = b1 ⋅ qn — 1

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

bn+1 = bn ⋅ q

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

bn-1 = bn / q

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

bn = √bn-1 ⋅ bn+1, где n > 1

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q), где q ≠ 1

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Sn = (b1 — bn ⋅ q) / (1 — q), где q ≠ 1

Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

b2 = b1q,   b3 = b2q = (b1q)q = b1q2,   b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…

Получаем:

bn = b1qn-1

Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})

Сумма первых n n n членов геометрической прогрессии

Среди заданий 11 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за 101010 лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем q≠1qneq 1q≠1 можно найти по формуле:

Sn=b1+…+bn=b1⋅1−qn1−q.S_n = b_1+…+b_n=b_1cdot frac{1-q^n}{1-q}.Sn​=b1​+…+bn​=b1​⋅1−q1−qn​.

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Начнем с базы индукции. Если n=1n=1n=1, то равенство очевидно: b1=b1⋅1−q1−qb_1=b_1cdot frac{1-q}{1-q}b1​=b1​⋅1−q1−q​.
Осуществим переход индукции. Предположим, что утверждение доказано нами для прогрессий длины n≥1nge 1n≥1. Покажем, что оно верно для прогрессии длины n+1n+1n+1: нам нужно доказать, что b1+…+bn+1=b1⋅1−qn+11−q.b_1+…+b_{n+1} =b_1cdot frac{1-q^{n+1} }{1-q}.b1​+…+bn+1​=b1​⋅1−q1−qn+1​.

Итак, в выражении b1+…bn+1b_1+…b_{n+1}b1​+…bn+1​ нам известно, чему равна сумма первых nnn членов (по предположению индукции): b1+…bn=b1⋅1−qn1−qb_1+…b_n=b_1cdot frac{1-q^n}{1-q}b1​+…bn​=b1​⋅1−q1−qn​. Последний член прогрессии равен bn+1=b1⋅qnb_{n+1}=b_1cdot q^{n}bn+1​=b1​⋅qn.

Тогда
b1+…bn+1=b1⋅1−qn1−q+b1⋅qn=b1⋅1−qn+qn(1−q)1−q=b1⋅1−qn+11−q.b_1+…b_{n+1}=b_1cdot frac{1-q^n}{1-q}+b_1cdot q^{n}=b_1cdot frac{1-q^n+q^n(1-q)}{1-q}=b_1cdot frac{1-q^{n+1} }{1-q}.b1​+…bn+1​=b1​⋅1−q1−qn​+b1​⋅qn=b1​⋅1−q1−qn+qn(1−q)​=b1​⋅1−q1−qn+1​.
Переход доказан.

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.

Задача 1:

Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

Решение:

b1 = 3

q = 6 / 3 = 2

b8 = b1 ⋅ q7 = 3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 128 = 384

S10 = b1 ⋅ (1 — q10) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 210) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069

Ответ: 384 и 3069

Задача 2:

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.

Решение:

b1 = 2

q = 6 / 2 = 3

Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:

486 = 2 ⋅ 3n — 1

243 = 3n — 1

35 = 3n — 1

n — 1 = 5

n = 6

Ответ: 6

Задача 3:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b1 = –3, q = 2. Найти n.

Решение:

Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:

Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (1 — 2)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (–1)

–31 = 1 — 2n

2n = 32

n = 5

Ответ: 5

Бесконечная геометрическая прогрессия

Сумма бесконечной геометрической прогрессии будет конечной, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии по модулю меньше 111.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем ∣q∣<1|q| lt 1∣q∣<1 равна b1+b2+…=b11−qb_1+b_2+…=frac{b_1}{1-q}b1​+b2​+…=1−qb1​​.

Заметим, что выражение b11−qfrac{b_1}{1-q}1−qb1​​ получится, если в формуле конечной геометрической прогрессии b1⋅1−qn1−qb_1cdot frac{1-q^n}{1-q}b1​⋅1−q1−qn​ заменить qnq^nqn на 000. Это не случайно. Если nnn достаточно велико, то сумма первых nnn членов прогрессии будет близка к сумме всей прогрессии. При этом величина qnq^nqn при q<1qlt 1q<1 будет достаточно мала. Математики говорят, что в пределе, при nnn, стремящемся к бесконечности, qnq^nqn стремится к нулю. Отсюда и получается эта формула.

Получается, что дисконтированный денежный поток от “вечного» рудника составит D1+d⋅11−11+d=D1+d⋅1+dd=Dd.frac{D}{1+d}cdot frac{1}{1-frac{1}{1+d} }=frac{D}{1+d}cdot frac{1+d}{d}=frac{D}{d}.1+dD​⋅1−1+d1​1​=1+dD​⋅d1+d​=dD​.

Убывающая прогрессия

Как было сказано выше, знаменатель убывающей бесконечно прогрессии геометрической по модулю должен быть меньше единицы, то есть |r|<1. Это означает, что он может быть как положительным, так и отрицательным.

Практический интерес представляет сумма членов прогрессии геометрической бесконечно убывающей, потому что она представляет собой некоторое конечное число.

Чтобы получить формулу для рассматриваемого случая, воспользуемся выражением для суммы, которое приведено в первом пункте статьи: Sn = a1*(rn-1)/(r-1). Если рассматривать бесконечный ряд, то есть n>∞, тогда rn>0, поскольку |r|<1. Этот факт можно проверить, если взять любое число, удовлетворяющее последнему условию, и возвести его в большую степень. В результате формула для суммы n слагаемых при n>∞ для убывающей прогрессии примет вид: S∞ = a1*/(1-r).

Приведем пример использования полученной формулы. Пусть необходимо найти бесконечную сумму для ряда 100, 50, 25, 12,5 … Как видно, первый член прогрессии геометрической убывающей бесконечно a1 равен 100, а ее знаменатель r = 0,5 (50/100 = 25/50 = 12,5/25). Подставим эти значения в формулу для бесконечной суммы, получим: S∞ = a1*/(1-r) = 100/(1-0,5) = 200.

Всё о бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Пример:

Рассмотрим квадрат со стороной 1 (рис. 57). Если середины его противоположных сторон соединить отрезком, то возникнут два прямоугольника с площадью .

Если теперь середины одного из полученных прямоугольников соединить отрезком, то получится два прямоугольника с площадью . Снова повторив такое действие, получим два прямоугольника с площадью . Будем продолжать этот процесс далее. В результате получим бесконечную убывающую последовательность

у которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на .

Естественно считать, что сумма
равна 1, так как она представляет площадь всего данного квадрата.

Записанная сумма содержит бесконечно много слагаемых. Рассмотрим ее часть из слагаемых:

Ее компоненты образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Поэтому

С возрастанием значения переменной значение выражения становится все меньше и меньше: значение переменной всегда можно подобрать так, что значение выражения станет меньше любого малого заранее выбранного числа. Поэтому бесконечную сумму считают равной 1.

Рассмотрим теперь бесконечную геометрическую прогрессию

где . Для таких прогрессий истинно условие , их называют бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями.

Примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий

Приведем примеры бесконечно убывающих геометрических прогрессий.

Пример №1

Последовательность

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией спервым членом и знаменателем

Пример №2

Последовательность

является бесконечно убывающей геометрической прогрессией с первым членом и знаменателем
(здесь ). Изобразим четыре первых члена геометрической прогрессии из примера 1 на координатной прямой (рис. 1).

Мы видим, что чем больше номер прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т.е. тем меньше его модуль, и с увеличением
этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,01, то

Изобразим 6 первых членов геометрической прогрессии из примера 2 на координатной прямой (рис. 2).

И в этом примере мы видим, что чем больше номер члена прогрессии, тем ближе этот член к нулю, т. е. тем меньше его модуль, и с увеличением п этот модуль становится меньше любого заданного положительного числа.

Например, если мы зададим число 0,001, то
Такую же картину, как и в этих двух примерах, мы наблюдаем в любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии
чем больше номер п члена прогрессии тем меньше и с увеличением этот, модуль становится меньше любого заданного положительного числа. Это утверждение формулируется еще и так:стремится к нулю при стремящемся к бесконечности.

Заметим, что если стремится к нулю при стремящемся к бесконечности.

Рассмотрим бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членоми знаменателем

Запишем формулу суммы первых членов этой прогрессии и преобразуем это выражение:
Обозначим

Тогда получим

Так как стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Значит,
стремится к нулю при , стремящемся к бесконечности, т. е. чем больше число (чем больше слагаемых в сумме ), темменьше разница между и
Поэтому число называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример №3

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение:

Ответ:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессиисо знаменателем называется число .

Это определение объясняется тем, что с увеличением число все меньше отличается от суммы первых членов этой прогрессии. Действительно,

.

Поскольку , то с увеличением приближается к нулю, а значит, приближается к нулю и вычитаемое . Поэтому сумма приближается к .

Пример №1

Найдем значение суммы

.

Замечаем, что слагаемые этой алгебраической суммы являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой
и . Поэтому

Мы знаем, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью. При этом если разложение на простые множители знаменателя несократимой дроби, представляющей данное рациональное число, содержит только двойки и пятерки, то получается конечная десятичная дробь, а если это разложение содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то получается бесконечная периодическая десятичная дробь. Например:

Повторяющаяся группа цифр называется периодом десятичной дроби, группа цифр между целой частью и периодом называется предпериодом. В записи 0,112(80487) предпериод равен 112, а период — 80 487.

Обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную делением ее числителя на знаменатель. Установим алгоритмы преобразования бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную.

В дальнейшем мы будем пользоваться записью вида . Она обозначает десятичную дробь, целая часть которой записана с помощью цифр , а дробная — с помощью цифр .

Теорема 7.

Бесконечная периодическая десятичная дробь без предпериода равна обыкновенной дроби, числитель которой есть число, записанное цифрами периода, а знаменатель — число, записанное столькими девятками, сколько есть цифр в периоде.

Доказательство:

Пусть — периодическая десятичная дробь, где — цифры периода. Тогда число
можно представить бесконечной суммой:

в которой каждое слагаемое получается из предыдущего умножением на . Это означает, что бесконечную периодическую дробь можно рассматривать как сумму
членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым

членом
и знаменателем . Поэтому

Теорема 7 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби без предпериода, который изображен схемой, приведенной на рисунке 58.

Пример №2

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,(9504). Имеем:

 

Бесконечная десятичная периодическая дробь с предпериодом равна обыкновенной дроби, числитель которой равен разности между числом, записанным цифрами от десятичной запятой до конца первого периода, и числом, записанным цифрами предпериода, а знаменатель — числу, записанному столькими девятками, сколько есть цифр в периоде, и столькими нулями, сколько есть цифр в предпериоде.

Доказательство:

Пусть — периодическая десятичная дробь, где — цифры предпериода, — цифры периода. Тогда число можно представить суммой

или, с учетом теоремы 7, суммой

Преобразуем полученное выражение:

Теорема 8 обосновывает алгоритм представления обыкновенной дробью бесконечной периодической десятичной дроби с предпериодом, который отражен на схеме, представленной на рисунке 59.

Пример №3

Представим обыкновенной дробью десятичную дробь 0,3213(513). Имеем: