Эквивалентные бесконечно малые функции: определение и расчет

Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции

Пусть x0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞,–∞ или +∞.

Функция α(x) называется бесконечно малой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен нулю.

Функция f(x) называется бесконечно большой при x стремящемся к x0, если функция имеет предел при x → x0, и он равен бесконечности.

Бесконечно малые функции и их свойства

Определение: Функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

  • бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
  • бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Рассмотрим свойства бесконечно малых функций:

  • Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Доказательство: Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
две бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Это означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
найдутся такие Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
что будут выполняться неравенства Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Полученное неравенство справедливо в меньшей из Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Кроме того, полученное неравенство свидетельствует о том, сумма двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Замечание: Используя метод математической индукции можно доказать утверждение свойства 1. для любого конечного числа n слагаемых бесконечно малых функций.

Пример:

Является сумма бесконечно малых функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
бесконечно малой функцией.

Решение:

Да, является, так как Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
стремится к нулю при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Нижеприведенные свойства бесконечно малых функций приведем без доказательства, так как они доказываются аналогично свойству 1.

  • Произведение бесконечно малых фу нкций есть бесконечно малая функция.
  • Если функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    имеет при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    конечный предел Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, частное отделения бесконечно малой функции на функцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесть бесконечно малая функция.
  • Если функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеет при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияконечный предел A, то в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияее можно представить в виде суммы предельного значения А и бесконечно малой в этой окрестности функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.
  • (обратное к 4.). Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможно представить в виде суммы предельного значения А и бесконечно малой в этой окрестности функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения,т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, то число А является пределом данной функции.

Замечание: Если функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеет при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияконечный предел А, то в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияона ограничена. Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениято в той же окрестности будет ограничена и функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

  • Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.
  • Отношение бесконечно малой функции к ограниченной функции есть бесконечно малая функция.

Бесконечно большие функции

Функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияназывается бесконечно большой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесли ее предел при этом равен Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решеният.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
— бесконечно большая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Построим график этой функции в некоторой окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

График функции у = Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв малой окрестности точкиБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— бесконечно большая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Покажем поведение этой функции в некоторой окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
(Рис. 61):

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
График функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв малой окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Рассмотрим свойства бесконечно больших функций:

  • Сумма бесконечно больших при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункций есть бесконечно большая функция.

Замечание: При вычислении разности бесконечно больших функций может получиться любое вещественное число.

  • Произведение бесконечно больших функций есть бесконечно большая функция.

Замечание: При вычислении отношения бесконечно больших функций может получиться любое вещественное число.

  • Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию есть бесконечно большая функция.
  • Вычисление произведения бесконечно большой функции на бесконечно малую функцию может привести к любому вещественному числу.
  • Отношение бесконечно большой функции к ограниченной функции есть бесконечно большая функция.

Установим связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями, которая дается следующими теоремами:

Теорема: Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
является бесконечно малой функцией, то в этой же окрестности функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
(Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения) будет бесконечно большой функцией.

Теорема: Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
является бесконечно большой функцией, то в этой же окрестности функция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
(Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения) будет бесконечно малой функцией.

Эти теоремы очень часто применяются при вычислении пределов, содержащих бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Основные теоремы о пределах

ТЗ. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Тогда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Доказательство: По свойству 4. для бесконечно малых функций в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
можно представить в виде: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениядве бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Найдем сумму (разность) функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеем Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

По свойству 1. для бесконечно малых функций величина Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
является бесконечно малой функцией, следовательно, по свойству 5. для бесконечно малых функций получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Замечание: Другими словами данную теорему можно сформулировать так: если функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
имеют конечные пределы а и b, то предел от суммы ( разности) будет равен сумме (разности) пределов от этих функций, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

T4. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Тогда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Доказательство: По свойству 4. для бесконечно малых функций в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
можно представить в виде: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решениядве бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Найдем произведение функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияимеем Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
По свойству 2. для бесконечно малых функций величина Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияявляется бесконечно малой функцией. По свойству 1. для бесконечно малых функций величина Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
является бесконечно малой функцией, следовательно, по свойству 5 для бесконечно малых функций получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Замечание: Иначе данную теорему можно сформулировать так: если функции f(х) и g(x) имеют конечные пределы а и b, то предел от произведения функций будет равен произведению пределов от этих функций, т.е.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Теорема: Если в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункция Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияпостоянна и равна С (Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения), то ее предел равен С.

Следствие: из теорем: если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
, тo Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие: Предел степени функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияравен степени предела этой функции, т.е.Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Тб. Пусть Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения. Тогда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Доказательство: По свойству 4. для бесконечно малых функций в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
можно представить в виде: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения— две бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Рассмотрим выражение:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияв Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точкиБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
С учетом выше сказанного имеем Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

В числителе дроби стоит бесконечно малая функция (свойство 1 для бесконечно малых функций), а в знаменателе дроби стоит ограниченная функция. По свойству 7. для бесконечно малых функций дробь в целом представляет собой бесконечно малую функцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Следовательно, в Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияотношение функций Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияможет быть представлено в виде Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Отсюда по свойству 5. для бесконечно малых функций получим, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Замечание: Сформулируем теорему иначе: если функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
имеют конечные пределы Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то предел от отношения функций будет равен отношению пределов от этих функций, т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей

Вычисление любых пределов начинается с подстановки предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
в подлимитную функцию Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Если при этом полу- чается число, то это число и будет пределом данной функции.

Пример:

Вычислить Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Подставим в функцию значение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Таким образом, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Вычислить Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Если подставить в функцию предельное значение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то числитель дроби стремится к Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
а знаменатель дроби стремится к Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решеният.е. в некоторой Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения-окрестности точки Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
является бесконечно малой функцией. Воспользуемся теоремой, величина обратная к бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция, предел которой равен бесконечности. Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Определение: Если при подстановки предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
в подлимитную функцию возникают выражения вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и им подобные, то говорят о наличии неопределенности.

Определение: Процесс нахождения пределов, имеющих неопределенность, называется раскрытием неопределенностей.

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей:

  • Неопределенность типа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    возникающая при вычислении предела от отношения двух полиномов при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    раскрывается путем деления числителя и знаменателя на аргумент в высшей степени и использования теореме о связи б.б.ф. с б.м.ф., предел которой равен 0.

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

При Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому имеем неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Высший показатель степени равен 4 и находится в числителе дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получимБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Все дроби по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
стремятся к 0, следовательно, числитель стремится к 6, а знаменатель — к 0. Используя теорему о связи б.м.ф. с б.б.ф., предел которой равен Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
окончательно получим, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

При Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому имеем неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Высший показатель степени равен 2 и находится в числителе и знаменателе дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби наБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Все дроби по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
стремятся к 0, следовательно, числитель стремится к 4, а знаменатель — к 7. Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

НайтиБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

При Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и числитель, и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому имеем неопределенность вида Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Высший показатель степени равен 3 и находится в знаменателе дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Все дроби по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
стремятся к 0, следовательно, числитель стремится к 0, а знаменатель — к 1. Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Рассмотренные примеры позволяют сделать следующий вывод:Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

  • Неопределенность типа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    возникающая при вычислении предела от отношения двух полиномов при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    раскрывается путем разложения полимонов на простые множители и дальнейшего сокращения числителя и знаменателя дроби на обнуляющий их множитель Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    (при этом используются формулы Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Подстановка предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
в подлимитную функцию приводит к обнулению числителя и знаменателя дроби. Следовательно, дробь приводится к неопределенности Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на простые множители, для чего решим следующие уравнения: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
По теореме Виета находим Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Следовательно, Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
а разложение полинома имеет вид:Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Решим уравнение:

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Следовательно, разложение этого полинома на простые множители будет иметь вид: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Подставим найденные разложения полиномов в исходный предел, получимБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Подставляя вместо переменной х ее предельное значение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получим ответ: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

  • Неопределенность типа Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    возникающая при вычислении предела, со- держащего квадратные корни, при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    раскрывается с использованием фор- мулы, определяющей разность квадратов Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Подстановка предельного значения аргумента Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
в подлимитную функцию приводит к обнулению числителя и знаменателя дроби. Следовательно, дробь приводится к неопределенности Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Для раскрытия этой неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получим: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Устремляя х к 4, получим неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Для раскрытия этой неопределённости умножим числитель и знаменатель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
а знаменатель и числитель дроби на выражение Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример:

Найти Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Устремляя x к бесконечности, получим неопределенность Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражениеБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
получимБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
(знаменатель дроби стремится к бесконечности, следовательно, дробь по теореме при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
стремится к Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Задачи на бесконечно малые и бесконечно большие функции

Математическая интерпретация явления часто заключается в том, что практически очень малые величины принимаются за бесконечно малые. Так, рассматривая годовое производство, мы можем отдельный день представить себе как бесконечно малую частицу годового периода и получать при этом практически верные результаты.

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
если ее предел равен нулю: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Функция y=f(x) называется бесконечно большой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
если ее предел равен бесконечности: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями существует связь: если f(x) — бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
— бесконечно большая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и наоборот.

  • Теорема 1. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бес-конечно малых функций при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияесть бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.
  • Теорема 2. Произведение бесконечно малой при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияфункции на ограниченную есть бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения.

Пример №1

Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Т.к. sinx — ограниченная функция для любых Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

  • бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
  • бесконечно малая функция при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
    т.е. Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Если f(x) и g(x) — бесконечно малые функции при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
— может быть равен либо нулю, либо бесконечности, либо какому-нибудь числу, отличному от нуля; наконец, предел может не существовать.

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
не существует, то f(x) и g(x) называют несравнимыми бесконечно малыми при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то функция f(x) стремится к нулю быстрее, чем g(x)

при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Говорят, что f(x) — бесконечно малая более высокого порядка, чем g(x) при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и пишут: f(x)=o(g(x)), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
(читается «f(x) есть о малое от g(x) при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
).

ЕслиБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то f(x) называют бесконечно малой более низкого порядка, чем g(x) при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и пишут: g(x)=o(f(x)), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
.

Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то f(x) и g(x) называют бесконечно малыми одного порядка при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и пишут: f(x)=O(g(x)), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
.

f ( X )

Особенно важен частный случай, когда Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Тогда f(x) и g(x) называют эквивалентными бесконечно малыми при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
и пишут: f(x)~g(x), Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
.

Пример №2

Показать, что Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияпри Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решенияи х являются бесконечно малыми Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Найдем предел их отношения Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
при Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
что и требовалось доказать. (Переход к пределу под символом логарифма возможен, т.к. логарифмическая функция непрерывна.)

Утверждение. Если Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
то Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
следующие функции экви- валентны: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения
Данная цепочка эквивалентностей используется при нахождении преде- лов.

  • Теорема 3. Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

Пример №3

Вычислить предел Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Для нахождения предела используем свойства эквивалентности бесконечно малых функций: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Пример №4

Вычислить пределБесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Решение:

Используя теорему об эквивалентных бесконечно малых, получаем: Бесконечно малые и бесконечно большие функции с примерами решения

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции — это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Эквивалентные функции

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x1, стремящимся к x2, f(x)~f1(x) и g(x)~g1(x) существует предел:

1 то существует и предел:

2

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

3

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

4

при этом:

f(x) ~ f1(x), p(x) ~ p1(x), … , r(x) ~ r1(x), g(x) ~ g1(x), q(x) ~ q1(x), … , s(x) ~ s1(x).

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0:

5

Эквивалентность при t → 0 Равенство при t → 0
sin t ~ t sin t = t + 0(t)
arsin t ~ t arsin t = t + 0(t)
tg t ~ t tg t = t + 0(t)
artg t ~ t artg t = t + 0(t)
1-cos t ~

1-cos t =


+ 0(t2)

et – 1 ~ t et — 1 = t + 0(t)
at – 1 ~ t ln a at – 1 = t ln a + 0(t)
ln (1 + t) ~ t ln (1 + t) = t + 0(t)
loga (1 + t) ~

12

loga (1 + t) =

14
+ 0(t)

(1 + t)b — 1 ~ bt (1 + t)b — 1 = bt + 0(t)
sh t ~ t sh t = t + 0(t)
arsh t ~ t arsh t = t + 0(t)
th t ~ t th t = t + 0(t)
arsh t ~ t arsh t= t + 0(t)
ch t – 1 ~ t2/2 ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2)

Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел.

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Вычислить

6
Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда

7

Пример 2

Найти

8

Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

9

Значит, arcsin x ~ x при x → 0.

Пример 3

Вычислить

10

Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда

11
Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.

Оцените статью
Блог про прикладную математику