Краткая теория
Двойной интеграл непрерывной функции, распространенный на ограниченную замкнутую область плоскости, является пределом соответствующей двумерной интегральной суммы:
и сумма распространяется на те значения и для которых точки принадлежат области .
Есть два основных типа интеграционных регионов.
- Область интегрирования ограничена слева и справа прямыми и (), а сверху и снизу непрерывными кривыми и, каждая из которых пересекает вертикальную линию только в одной точке.
В интервале переменная изменяется от до, а постоянная переменная изменяется от до .
Вычисление интеграла можно выполнить, сведя его к повторяющемуся интегралу по формуле, где значение предполагается постоянным при вычислении.
- Область интегрирования снизу и сверху ограничена прямыми линиями и (), а слева и справа непрерывными кривыми и, каждая из которых пересекает горизонтальную линию только в одной точке.
Как и в предыдущем случае, имеем, где при вычислении интеграла величина считается постоянной.
Если область интеграции не принадлежит ни к одному из рассмотренных выше типов, они пытаются разделить ее на части, каждая из которых принадлежит к одному из этих двух типов.
Объемы: примеры решений
Найти объем тела, определяемый его ограничивающими поверхностями.
$$ x ^ 2 + y ^ 2 = 2 a, quad x ^ 2 + y ^ 2 = 5 a, quad z = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}, quad z = 0. $
Используя двойной интеграл, вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
$$ a ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 le b ^ 2, quad x ^ 2-y ^ 2-z ^ 2 ge 0, x ge 0$
Вычислить объем тела с ограниченной поверхностью, используя двойной и тройной интеграл $ x ^ 2 + y ^ 2 = 4x, x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 16$
Площади: примеры решений
Найдите площадь области D: $ y = -2x ^ 2 + 2, y g и -6$.
Найти площадь области $ x ^ 2-2x + y ^ 2 = 0 $, $ x ^ 2-4x + y ^ 2 = 0 $, $ y = 0 $, $ y = sqrt {3} x$.
Используя двойной интеграл, вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями (неравенствами) $ y = x ^ 2, x = 2y ^ 2$
Вычислить площадь фигуры, ограниченную заданными линиями, используя двойной интеграл в полярных координатах.
$$ y ^ 2-4 y + x ^ 2 = 0, y ^ 2-6 y + x ^ 2 = 0, y = sqrt {3} x, x = 0.$
Вычислить площадь области, определяемой неравенствами $ (xr) ^ 2 + y ^ 2 le r ^ 2, y ge 0, -2x + 2r ge y $, предварительно пройдя полярную координаты.
Двойной интеграл по области: примеры решений
Вычислить двойной интеграл в области $ D$
$$ iint_D (x + y) dxdy, quad D: {y = x ^ 2-1, y = -x ^ 2 + 1}. $
Вычислить двойной интеграл функции $ z = x ^ 3 + y ^ 3-3xy $ в области D, заданной системой неравенств $ 0 le x le 2 $, $ y le sqrt { x} $. Покажите область D на рисунке.
Вычислить двойной интеграл в указанной области $ D $, используя переход $ полярных координат$.
$$ iint_D frac { ln (x ^ 2 + y ^ 2)} {x ^ 2 + y ^ 2} dxdy, D mbox {- кольцо} 1 le x ^ 2 + y ^ 2 le e ^ 2. $