Дифференциальные уравнения 2 порядка: как решить

Что такое дифференциальные уравнения и как их решать

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой функцией, независимой переменной и параметрами. Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.

Как решать дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения. Решением дифференциального уравнения будет функция или семейство функций. Производные могут входить в функцию в любом порядке и сами производные могут быть любого порядка.

Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в ДУ в различных комбинациях или же могут вовсе отсутствовать. Однако в уравнение должна входить хотя бы одна производная, иначе оно бы не будет дифференциальным. Дифференциальным уравнением является не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции. К примеру, f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением, а просто обозначает производную от определённой функции.

При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится верное равенство.

ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.

При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением будет именно семейство функций, так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю. А так как производная от константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного дифференциального уравнения. Не все калькуляторы позволяют решить дифференциальные уравнения онлайн, а только самые “умные”. Ещё несколько лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(24.2.1)

где р и q — постоянные числа. Нахождение общего решения уравнения (24.2.1) сводится к чисто алгебраическим операциям.

Вид уравнения (24.2.1) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать, прежде всего, среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Таким свойством обладает показательная функция. Поэтому будем искать частные решения в видеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Так какЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, то подставив в (24.2.1) значения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

МножительЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, не обращается в нуль ни при каких значениях х. Поэтому функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
тогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, когда число к является корнем уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(24.2.2)

Алгебраическое квадратное уравнение (24.2.2) называют характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (24.2.1). Его корни находятся по формулам:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

При этом могут представиться различные случаи, которые мы проанализируем подробнее.

  • Корни характеристического уравнения действительны и различны: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

В этом случае частными решениями будут функции:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

так как каждому из корней соответствует частное решение. Эти решения линейно независимы, потому что их отношение не равно постоянной величине:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда, в силу теоремы 24.1.6, общее решение уравнения (24.2.1) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

В силу, изложенного выше, составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и находим его корни: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как корни характеристического уравнения различны, то общее решение задается функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Частные решения можно записывать в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (24.2.1). Легко показать, что если какая-либо комплексная функция

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(24.2.3)

действительного аргумента удовлетворяет уравнению (24.2.1), то тгому уравнению удовлетворяют и функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Действительно, подставляя (24.2.3) в (24.2.1), получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Комплексная функция равняется нулю, когда равны нулю ее действительная и мнимая части. Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Это означает, что функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
являются решениями уравнения (24.2.1), если функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— решение уравнения (24.2.1).

Перепишем теперь комплексные частные решения в виде суммы действительной и мнимой частей: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
,

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда, частными решениями будут действительные функции:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Так как функции Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
линейно независимы, то общее решение уравнения (24.2.1) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

или

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— произвольные постоянные.

Заметим, что если в уравнении (24.2.2) р = 0,то характеристические корни чисто мнимые Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и решение

(24.2.4) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Согласно изложенному выше, составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и находим его корни: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Следовательно, общее решение определяется функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составим характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и найдем его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Поэтому, обutec решение будет определяться функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

  • Корни характеристического уравнения действительные и равные: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
    .

В этом случае, на основании случая 1, имеем одно частное решение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Нужно найти второе линейно независимое с первым. Будем его искать в виде Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, где и(х) — неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя решениеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
находим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Подставляя функциюЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и се производные Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
в уравнение (24.2.1), и выполняя элементарные преобразования, получаем

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— кратный корень характеристического уравнения,

то Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Кроме того,Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и поэтому в выражении (24.2.5) остается одно слагаемое, равное нулю: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Следовательно, для нахождения и(х) нужно решить уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Последовательно интегрируя уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, получаем: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. В частности, можно положить Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять функцию Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Это решение линейно независимое с первым:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
.

Поэтому общим решением будет функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример:

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составляем характеристическое уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и находим его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Так как корни характеристического уравнения кратные действительные, то общее решение определяется функцией:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

В этом параграфе мы остановимся на изучении структуры общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, т. с. уравнения вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Предположим, что уравнение (25.1.1) задано в области

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
называется общим решением уравнения (25.1.1) в области D, если для любой точки областиЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
равенства

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

разрешимы относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Иначе: функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
есть общее решение уравнения (25.1.1), если для любой точки из области D, можно указать такие значения постоянных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
что выполняются равенства (25.1.2), н, при таких значениях постоянных, функция Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
удовлетворяет уравнению (25.1.1).

Структура общего решения уравнения (25.1.1) определяется следующей теоремой.

Теорема 25.1.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (25.1.1) представляет сумму частного решения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (24.1.1).

Доказательство. Пусть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и Y соответственно частное решение уравнения (25.1.1) и общее решение соответствующего однородного уравнения (24.1.1). Нужно доказать, что произвольные постоянные, входящие в него, можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия: приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Так как Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— линейно независимые решения уравнения (24.1.1), то нужно доказать, что функция:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
является общим решением уравнения (25.1.1), т.е. нужно доказать, что равенства:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
разрешимы относительно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Подставляя в эти равенства начальные условия, получим систему относительно неизвестных Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Эту систему можно переписать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Определитель последней системы является определителем Вронского, для функций Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. И так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решеннс. ОпределивЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, найдем функцию Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, которая определяет решение уравнения (25.1.1), удовлетворяющее данным начальным условиям.

Теорема 25.1.2. Если правая часть неоднородного уравнения (25.1.1) равна сумме двух функций:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(25.1.3)

то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Доказательство. Пусть Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
частные решения уравнений (25.1.4). Тогда при подстановке их в уравнение (25.1.3), получим тождества:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Складывая, правые и левые части тождеств, получаем:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

откуда следует, что сумма Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
является решением уравнения (25.1.1).

Таким образом, для решения неоднородного линейного уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного и какое-либо частное решение исходного уравнения. Частное решение неоднородного линейного уравнения найти, вообще говоря, трудно Д1я уравнения (25.1.1). Мы остановимся на неоднородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, т.е. уравнениях вида:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
где р и q- постоянные коэффициенты, для которых существуют общие методы нахождения частных решений в зависимости от вида правой части.

Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Пусть задано уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(25.2.1)

где р и q — действительные числа. Покажем, что частное решение уравнения (25.2.1) иногда можно найти, не прибегая к интегрированию, а методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим эти случаи.

Правая часть уравнения (25.1.1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— многочлен n -ой степени.

Если число а не является корнем характеристического уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, составленного для соответствующего однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, то частное решение нужно искать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— многочлен степени n с неопределенными коэффициентами Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Действительно, подставляя Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
в уравнение (25.2.1) и сокращая все члены на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
получаем:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени n.З

начит в левой и правой частях равенства (25.2.3) записаны многочлены степени n, которые будут равными, если равны коэффициенты при равных степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из n + 1 уравнений для определения коэффициентов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Если же число а простой корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, гдеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения— многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.

Действительно, если бы в этом случае стали искать частное решение в форме (25.2.2), то в равенстве (25.2.3) слева получили бы многочлен степени n-1, так как коэффициент при Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, т.е. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, равен нулю. Следовательно, ни при каких значениях Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
равенство (25.2.3) не было бы тождеством. Поэтому мы Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
умножаем на х.

Если же число а двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, так как кроме коэффициента при Q„(x), в равенстве (25.2.3), равен нулю и коэффициент приЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, и слева этого равенства будет стоять многочлен степени n — 2. При этом свободный член многочлена Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, в этом случае, и член первой степени исчезнут при дифференцировании и их можно не включать в частное решение.

Замечание. Если правая часть уравнения (25.2.1) не содержит множителя Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, то следует рассматривать а = 0 и частное решение искать в виде Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, учитывая при этом какой кратности нуль является корнем характеристического уравнения.

Пример №1

Найти общее решение уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Вначале находим общее решение соответствующего однородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Оно имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Далее ищем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть заданного уравнения равна произведению многочлена на экспоненциальную функциюЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, и так как коэффициент 3 в показателе экспоненты не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Вычисляя первую и вторую производные этого выражения и подставляя в дифференциальное уравнение, получим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Сокращая на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

решая которую, находим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Следовательно, частным решением является функция:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Общее решение заданного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пусть теперь правом часть уравнения (25.2.1) представляет собой произведение многочленов на тригонометрические функции и показательную функцию’.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— многочлены степени n и m. Тогда частное решение определяется следующим образом:

  • если число Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
    не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения<br>;

  • если число Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
    является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Заметим, что формы частных решений (25.2.5) и (25.2.6) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (25.2.1) один из многочленов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
тождественно равен нулю, т.е. когда

правая часть равнаЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Кроме того, если правая часть уравнения (25.2.1) имеет вид:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
,

где М и N — постоянные числа, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
,

где А и В постоянные, подлежащие определению, когда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
не являются корнем характеристического уравнения; если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Пример №2

Найти общее решение линейного неоднородного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Его корни Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения определяется функцией:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Согласно теории, изложенной выше, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, где А и В -постоянные, подлежащие определению. Их определим, подставляя частное решение и его производные в заданное уравнение:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosx и sinx, получаем систему из двух уравнений:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решая эту систему, находим:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
.

Следовательно, частное решение определяется функцией: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
а общее — функцией:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно производной Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида (25.3.1) относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части, зависит только от одного из трех аргументов Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Рассмотрим также уравнения, допускающие понижение порядка, в которых функция зависит только от двух из трех аргументов: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Общее решение уравнения (25.3.2) находится двукратным интегрированием. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример №3

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Вычислим интегралы от обеих частей заданного уравнения, представив вторую производную в виде: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Поскольку интеграл от производной функции равен самой функции, то, последовательно интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

При интегрировании уравнения (25.3.3) вводится подстановка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Тогда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, и уравнение принимает вид Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
— Аналогично, подстановкойЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
уравнение (25.3.4) приводится к виду Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Преобразованные уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример №4

Найти частное решение дифференциального уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, удовлетворяющее условиям: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
при х = 1.

Решение:

Заданное уравнение относится к виду (25.3.3). Положим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Подставив, получим уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
с разделяющимися переменными. Умножив на dy, и вычислив интегралы от обеих частей, последовательно находим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Выполним обратную подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
или Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Решение этого уравнения найдем, вычислив интегралы от обеих частей. Интеграл Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
при помощи подстановки Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
сводится к интегралу от рациональной дроби Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, который вычисляем, разложив рациональную дробь в сумму элементарных дробей:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

УравнениеЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
(25.3.5) подстановкой Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
приводится к уравнению первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
c неизвестной функцией p.

Пример №5

Проинтегрировать дифференциальное уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Положим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
и заданное уравнение примет видЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Это линейное уравнение, которое интегрируем при помощи интегрирующего множителя

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Умножив на интегрирующим множитель, получимЛинейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Проинтегрировав обе части, последовательно находим z: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Подставив Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, получим: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Вычислив интегралы левой и правой частей уравнения, находим общий интеграл:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Уравнение (25.3.6), Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, подстановкой Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
сводится к уравнению

первого порядка:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, в котором z функция, а у аргумент.

Пример №6

Проинтегрировать уравнение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Решение:

Заданное уравнение имеет вид (25.3.6). Применим подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Тогда исходное уравнение преобразуются к уравнению с разделяющимися переменными: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
. Разделив переменные, последовательно находим:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Выполнив обратную подстановку Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
, получим два уравнения:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
,. Интегрируя эти уравнения, найдем:Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с примерами решения

Оцените статью
Блог про прикладную математику