- Что такое дифференциальные уравнения и как их решать
- Как решать дифференциальные уравнения
- Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка
- Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- Пример №1
- Пример №2
- Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка
- Пример №3
- Пример №4
- Пример №5
- Пример №6
Что такое дифференциальные уравнения и как их решать
Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой функцией, независимой переменной и параметрами. Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.
Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.
Как решать дифференциальные уравнения
Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения. Решением дифференциального уравнения будет функция или семейство функций. Производные могут входить в функцию в любом порядке и сами производные могут быть любого порядка.
Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в ДУ в различных комбинациях или же могут вовсе отсутствовать. Однако в уравнение должна входить хотя бы одна производная, иначе оно бы не будет дифференциальным. Дифференциальным уравнением является не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции. К примеру, f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением, а просто обозначает производную от определённой функции.
При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится верное равенство.
ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.
При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением будет именно семейство функций, так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю. А так как производная от константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного дифференциального уравнения. Не все калькуляторы позволяют решить дифференциальные уравнения онлайн, а только самые “умные”. Ещё несколько лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
(24.2.1)
где р и q — постоянные числа. Нахождение общего решения уравнения (24.2.1) сводится к чисто алгебраическим операциям.
Вид уравнения (24.2.1) показывает, что частные решения этого уравнения следует искать, прежде всего, среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Таким свойством обладает показательная функция. Поэтому будем искать частные решения в виде
Так как
,
, то подставив в (24.2.1) значения
получим:
Множитель
, не обращается в нуль ни при каких значениях х. Поэтому функция
тогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами, когда число к является корнем уравнения:
(24.2.2)
Алгебраическое квадратное уравнение (24.2.2) называют характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (24.2.1). Его корни находятся по формулам:
При этом могут представиться различные случаи, которые мы проанализируем подробнее.
- Корни характеристического уравнения действительны и различны:
В этом случае частными решениями будут функции:
так как каждому из корней соответствует частное решение. Эти решения линейно независимы, потому что их отношение не равно постоянной величине:
Тогда, в силу теоремы 24.1.6, общее решение уравнения (24.2.1) имеет вид:
Пример:
Найти общее решение уравнения:
Решение:
В силу, изложенного выше, составляем характеристическое уравнение
и находим его корни:
Так как корни характеристического уравнения различны, то общее решение задается функцией:
- Корни характеристического уравнения комплексные.
Так как комплексные корни входят попарно сопряженными, то
Частные решения можно записывать в виде:
,
Это комплексные функции действительного аргумента, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (24.2.1). Легко показать, что если какая-либо комплексная функция
(24.2.3)
действительного аргумента удовлетворяет уравнению (24.2.1), то тгому уравнению удовлетворяют и функции
. Действительно, подставляя (24.2.3) в (24.2.1), получим:
Комплексная функция равняется нулю, когда равны нулю ее действительная и мнимая части. Следовательно,
и
Это означает, что функции
являются решениями уравнения (24.2.1), если функция
— решение уравнения (24.2.1).
Перепишем теперь комплексные частные решения в виде суммы действительной и мнимой частей:
,
Тогда, частными решениями будут действительные функции:
. Так как функции
линейно независимы, то общее решение уравнения (24.2.1) в случае комплексных корней характеристического уравнения имеет вид:
или
где
— произвольные постоянные.
Заметим, что если в уравнении (24.2.2) р = 0,то характеристические корни чисто мнимые
и решение
(24.2.4) имеет вид:
Пример:
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Согласно изложенному выше, составляем характеристическое уравнение
и находим его корни:
Следовательно, общее решение определяется функцией:
Пример:
Найти общее решение уравнения
Решение:
Составим характеристическое уравнение
и найдем его корни
. Поэтому, обutec решение будет определяться функцией:
- Корни характеристического уравнения действительные и равные:
.
В этом случае, на основании случая 1, имеем одно частное решение
Нужно найти второе линейно независимое с первым. Будем его искать в виде
, где и(х) — неизвестная функция, подлежащая определению. Дифференцируя решение
находим:
Подставляя функцию
и се производные
в уравнение (24.2.1), и выполняя элементарные преобразования, получаем
Так как
— кратный корень характеристического уравнения,
то
. Кроме того,
и поэтому в выражении (24.2.5) остается одно слагаемое, равное нулю:
. Следовательно, для нахождения и(х) нужно решить уравнение
. Последовательно интегрируя уравнение
, получаем:
. В частности, можно положить
. Таким образом, в качестве второго частного решения можно взять функцию
. Это решение линейно независимое с первым:
.
Поэтому общим решением будет функция:
Пример:
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни
. Так как корни характеристического уравнения кратные действительные, то общее решение определяется функцией:
Структура общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка
В этом параграфе мы остановимся на изучении структуры общего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка, т. с. уравнения вида:
Предположим, что уравнение (25.1.1) задано в области
Функция
называется общим решением уравнения (25.1.1) в области D, если для любой точки области
равенства
разрешимы относительно
Иначе: функция
есть общее решение уравнения (25.1.1), если для любой точки из области D, можно указать такие значения постоянных
что выполняются равенства (25.1.2), н, при таких значениях постоянных, функция
удовлетворяет уравнению (25.1.1).
Структура общего решения уравнения (25.1.1) определяется следующей теоремой.
Теорема 25.1.1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (25.1.1) представляет сумму частного решения
этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (24.1.1).
Доказательство. Пусть
и Y соответственно частное решение уравнения (25.1.1) и общее решение соответствующего однородного уравнения (24.1.1). Нужно доказать, что произвольные постоянные, входящие в него, можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия: при
Так как
— линейно независимые решения уравнения (24.1.1), то нужно доказать, что функция:
является общим решением уравнения (25.1.1), т.е. нужно доказать, что равенства:
разрешимы относительно
Подставляя в эти равенства начальные условия, получим систему относительно неизвестных
Эту систему можно переписать в виде:
где
Определитель последней системы является определителем Вронского, для функций
. И так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет единственное решеннс. Определив
, найдем функцию
, которая определяет решение уравнения (25.1.1), удовлетворяющее данным начальным условиям.
Теорема 25.1.2. Если правая часть неоднородного уравнения (25.1.1) равна сумме двух функций:
(25.1.3)
то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно
Доказательство. Пусть
частные решения уравнений (25.1.4). Тогда при подстановке их в уравнение (25.1.3), получим тождества:
Складывая, правые и левые части тождеств, получаем:
откуда следует, что сумма
является решением уравнения (25.1.1).
Таким образом, для решения неоднородного линейного уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного и какое-либо частное решение исходного уравнения. Частное решение неоднородного линейного уравнения найти, вообще говоря, трудно Д1я уравнения (25.1.1). Мы остановимся на неоднородных линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, т.е. уравнениях вида:
где р и q- постоянные коэффициенты, для которых существуют общие методы нахождения частных решений в зависимости от вида правой части.
Способы нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Пусть задано уравнение
(25.2.1)
где р и q — действительные числа. Покажем, что частное решение уравнения (25.2.1) иногда можно найти, не прибегая к интегрированию, а методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим эти случаи.
Правая часть уравнения (25.1.1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен:
, где
— многочлен n -ой степени.
Если число а не является корнем характеристического уравнения
, составленного для соответствующего однородного уравнения
, то частное решение нужно искать в виде:
где
— многочлен степени n с неопределенными коэффициентами
Действительно, подставляя
в уравнение (25.2.1) и сокращая все члены на
получаем:
где — многочлен степени
— многочлен степени
— многочлен степени n.З
начит в левой и правой частях равенства (25.2.3) записаны многочлены степени n, которые будут равными, если равны коэффициенты при равных степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему из n + 1 уравнений для определения коэффициентов
Если же число а простой корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:
, где— многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
Действительно, если бы в этом случае стали искать частное решение в форме (25.2.2), то в равенстве (25.2.3) слева получили бы многочлен степени n-1, так как коэффициент при
, т.е.
, равен нулю. Следовательно, ни при каких значениях
равенство (25.2.3) не было бы тождеством. Поэтому мы
умножаем на х.
Если же число а двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:
, так как кроме коэффициента при Q„(x), в равенстве (25.2.3), равен нулю и коэффициент при
, и слева этого равенства будет стоять многочлен степени n — 2. При этом свободный член многочлена
, в этом случае, и член первой степени исчезнут при дифференцировании и их можно не включать в частное решение.
Замечание. Если правая часть уравнения (25.2.1) не содержит множителя
, то следует рассматривать а = 0 и частное решение искать в виде
, учитывая при этом какой кратности нуль является корнем характеристического уравнения.
Пример №1
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Вначале находим общее решение соответствующего однородного уравнения
. Оно имеет вид:
Далее ищем частное решение данного неоднородного уравнения. Так как правая часть заданного уравнения равна произведению многочлена на экспоненциальную функцию
, и так как коэффициент 3 в показателе экспоненты не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
Вычисляя первую и вторую производные этого выражения и подставляя в дифференциальное уравнение, получим:
Сокращая на
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь систему:
решая которую, находим:
. Следовательно, частным решением является функция:
Общее решение заданного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Пусть теперь правом часть уравнения (25.2.1) представляет собой произведение многочленов на тригонометрические функции и показательную функцию’.
где
— многочлены степени n и m. Тогда частное решение определяется следующим образом:
- если число
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде:
где
— многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов <br>;
- если число
является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
Заметим, что формы частных решений (25.2.5) и (25.2.6) сохраняются и в том случае, когда в правой части уравнения (25.2.1) один из многочленов
тождественно равен нулю, т.е. когда
правая часть равна
Кроме того, если правая часть уравнения (25.2.1) имеет вид:
,
где М и N — постоянные числа, то частное решение ищем в виде:
,
где А и В постоянные, подлежащие определению, когда
не являются корнем характеристического уравнения; если
является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
Пример №2
Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
Решение:
Составим характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:
. Его корни
Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения определяется функцией:
Согласно теории, изложенной выше, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
, где А и В -постоянные, подлежащие определению. Их определим, подставляя частное решение и его производные в заданное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosx и sinx, получаем систему из двух уравнений:
Решая эту систему, находим:
.
Следовательно, частное решение определяется функцией:
а общее — функцией:
Способы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно производной
К простейшим интегрируемым дифференциальным уравнениям второго порядка вида (25.3.1) относятся уравнения, для которых функция, стоящая в правой части, зависит только от одного из трех аргументов
Рассмотрим также уравнения, допускающие понижение порядка, в которых функция зависит только от двух из трех аргументов:
Общее решение уравнения (25.3.2) находится двукратным интегрированием. Рассмотрим соответствующий пример.
Пример №3
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
Решение:
Вычислим интегралы от обеих частей заданного уравнения, представив вторую производную в виде:
. Поскольку интеграл от производной функции равен самой функции, то, последовательно интегрируя, находим общее решение заданного уравнения:
При интегрировании уравнения (25.3.3) вводится подстановка
Тогда
, и уравнение принимает вид
— Аналогично, подстановкой
уравнение (25.3.4) приводится к виду
Преобразованные уравнения являются дифференциальными уравнениями первого порядка с разделяющимися переменными.
Пример №4
Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условиям:
при х = 1.
Решение:
Заданное уравнение относится к виду (25.3.3). Положим
. Подставив, получим уравнение
с разделяющимися переменными. Умножив на dy, и вычислив интегралы от обеих частей, последовательно находим:
Выполним обратную подстановку
. Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
или
. Решение этого уравнения найдем, вычислив интегралы от обеих частей. Интеграл
при помощи подстановки
сводится к интегралу от рациональной дроби
, который вычисляем, разложив рациональную дробь в сумму элементарных дробей:
Тогда общее решение заданного уравнения будет иметь вид:
Уравнение
(25.3.5) подстановкой
приводится к уравнению первого порядка
c неизвестной функцией p.
Пример №5
Проинтегрировать дифференциальное уравнение
Решение:
Положим
и заданное уравнение примет вид
. Это линейное уравнение, которое интегрируем при помощи интегрирующего множителя
. Умножив на интегрирующим множитель, получим
. Проинтегрировав обе части, последовательно находим z:
Подставив
, получим:
Вычислив интегралы левой и правой частей уравнения, находим общий интеграл:
Уравнение (25.3.6),
, подстановкой
сводится к уравнению
первого порядка:
, в котором z функция, а у аргумент.
Пример №6
Проинтегрировать уравнение
Решение:
Заданное уравнение имеет вид (25.3.6). Применим подстановку
Тогда исходное уравнение преобразуются к уравнению с разделяющимися переменными:
. Разделив переменные, последовательно находим:
Выполнив обратную подстановку
, получим два уравнения:
,. Интегрируя эти уравнения, найдем: