Дифференциал в математике: что это и как его найти

Содержание
  1. Возникновение понятия о дифференциале
  2. Современное определение
  3. Дифференциал функции
  4. Геометрическое содержание дифференциала
  5. Механическое истолкование
  6. Применение дифференциала к приблизительным вычислениям
  7. Дифференциал функции и функция
  8. Основные свойства дифференциала
  9. Свойство инвариантности формы дифференциала
  10. Применение дифференциалов при приближенных вычислениях
  11. Производная и дифференциал
  12. Дифференциал функции
  13. Дифференциал функции с примерами
  14. Справочные сведения
  15. Определение производной
  16. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
  17. Формулы для производных основных элементарных функций
  18. Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал
  19. Замена приращений дифференциалами
  20. Дифференциал функции: примеры
  21. Приближенные вычисления с применением дифференциала
  22. Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут.

Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

дифференциалы это

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

что такое дифференциал

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы — это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y'(x) Δх + αΔх, где α Δх – остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы – это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 — Δу/Δх→ y'(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y'(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y'(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y1, а затем y = y2, то разность y2 ─ y1 называется приращением величины y.

дифференциал функции примеры
Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y2 ─ y1.

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы – это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х))

Понятие дифференциала функции:

С понятием производной тесно связано важное понятие математики — понятие дифференциала.

Пусть дана функция у = f(х), дифференцирования в точке х. Это означает, что существует Дифференциал функции

Следовательно, справедливо соотношение:

Дифференциал функции

Отсюда:  Дифференциал функции

Как видно, прирост функции складывается из двух слагаемых. Второе слагаемое Дифференциал функции
как произведение бесконечно малых величин, является бесконечно малым более высокого порядка, чем Дифференциал функции
Значит, при малых Дифференциал функции
второе слагаемое менее важное, чем первое, и именно первое слагаемое составляет основную часть прироста функции (главную часть).

Дифференциалом функции у = f(х) в точках х называют главную часть прироста функции Дифференциал функции
и обозначают символом dy. По определению Дифференциал функции

При Дифференциал функции
, получаем Дифференциал функции
, или Дифференциал функции
, то есть дифференциал аргумента равный его приросту. Тогда

Дифференциал функции

то есть дифференциал функции у = f(х) в точках х равен произведению производной в этой точке на дифференциал аргумента.

Отсюда, Дифференциал функции
и выражение, которое мы раньше обозначали одним символом, теперь можно рассматривать как дробь, равен отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

Геометрическое содержание дифференциала

Рассмотрим график непрерывной функции у = f(х) (рис. 1).

Производная функции при Дифференциал функции
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке Дифференциал функции
, то есть

Дифференциал функции

Дифференциал функции

На рис. 1 видно, что касательная разбивает прирост функции KN на два отрезка: KP, который соответствует слагаемому Дифференциал функции
и PN, который равен слагаемому Дифференциал функции
Если прирост аргумента стремится к нулю, то отрезок NP уменьшается значительно быстрее, чем отрезок PK. Следовательно, прирост ординаты касательной KP является главной частью прироста функции у = f (х). Из треугольника MPK находим:

Дифференциал функции

Потому, что Дифференциал функции<br>; Дифференциал функции
, получаем Дифференциал функции
.

Следовательно, дифференциал функции у = f (х) геометрически изображается приростом ординаты касательной, проведённой в точке Дифференциал функции
при заданных значениях Дифференциал функции
и Дифференциал функции
.

  • Пример 1. Найти дифференциал функции Дифференциал функции

Решение: Находим производную данной функции:

Дифференциал функции

Умножаем производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Дифференциал функции

Ответ: Дифференциал функции

  • Пример 2. Найти дифференциал функции Дифференциал функции

Решение: Сначала найдём производную данной функции:

Дифференциал функции

Умножим производную на дифференциал аргумента, получаем дифференциал функции:

Дифференциал функции

Ответ: Дифференциал функции

  • Пример 3. Вычислить значение дифференциала функции Дифференциал функции
    Дифференциал функции

Решение: Дифференциал вычислим согласно формулы Дифференциал функции

Прежде чем использовать эту формулу, найдём производную функции и её значение при Дифференциал функции

Дифференциал функции

Отсюда, Дифференциал функции

Ответ: Дифференциал функции

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) – расстояние прямолинейно движущейся материальной точки от начального положения (t – время пребывания в пути). Приращение Δs – это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f’ (t) Δt – это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f'(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Применение дифференциала к приблизительным вычислениям

Прирост функции и дифференциал функции отличаются один от другого на малую величинуДифференциал функции
Если пренебречь этой малой величиной, то получим приближённое равенство:

Дифференциал функции

то есть при малых приростах аргумента Дифференциал функции
прирост функции можно заменить её дифференциалом.

Учитывая, что Дифференциал функции
, получаем Дифференциал функции
, откуда

Дифференциал функции

Эти приближённые равенства используются для приближённых вычислений, так как вычисление дифференциала функции значительно проще, чем вычисление её прироста.

  • Пример4.  Вычислить приближённое значение прироста функции Дифференциал функции
    при изменении аргумента от х = 2 до х = 2,001.

Решение: Находим дифференциал аргумента Дифференциал функции
. Прирост аргумента малый, поэтому прирост Дифференциал функции
приближённо равен его дифференциалу Дифференциал функции
.

Дифференциал функции вычислим по формуле: Дифференциал функции
. Сначала найдём производную  и её значение при х=2.

Дифференциал функции

Дифференциал функции

Точное значение прироста функции найдём по формуле:

Дифференциал функции

Сравнив полученный результат с дифференциалом Дифференциал функции
, видим, что абсолютная погрешность равна 0,000001. Однако абсолютная погрешность не даёт достаточно полной характеристики точности подсчёта, поэтому вычисли м и относительную погрешность:

Дифференциал функции

Такая точность почти всегда достаточна для прикладных вычислений, поэтому вместо прироста функции находят её дифференциал.

Ответ: Дифференциал функции

  • Пример 5. Вычислите приближённое значение функции Дифференциал функции

Решение: Найдём дифференциал аргумента Дифференциал функции
. Прирост аргумента малый, поэтому для вычисления приближённого значения функции воспользуемся формулой:

Дифференциал функции

Сначала найдём значение функции при х=2: Дифференциал функции

Дифференциал находим по формуле: Дифференциал функции
, для этого найдём производную функции и её значение при х=2:

Дифференциал функции

Ответ: Дифференциал функции

  • Пример 6. Найти приближённое значение Дифференциал функции
    .

Решение: Нам необходимо найти приближённое значение функции Дифференциал функции
при х=16,06.

Найдём дифференциал аргумента: Дифференциал функции

прирост аргумента малый, поэтому

Дифференциал функции

Дифференциал находим по формуле: Дифференциал функции
, для этого сначала найдём производную функции и её значение при х=16.

Дифференциал функции

Ответ: Дифференциал функции

  • Пример 7. Найти приближённое значение Дифференциал функции

Решение: Как и предыдущем примере, имеем Дифференциал функции

Дифференциал функции

Ответ:Дифференциал функции

  • Пример 8. Объём куба, ребро которого равно 4см., при нагревании увеличивается на 0,96см3. Как при этом увеличивается ребро куба?

Решение: Объём куба с ребром х вычисляется по формуле: V=х3. Поскольку Дифференциал функции

Дифференциал функции вычисляется по формуле Дифференциал функции
, отсюда Дифференциал функции
. Прежде чем воспользоваться формулой найдём производную функции V и её значение при х=4: Дифференциал функции

Теперь находим Дифференциал функции

Ответ: Ребро куба увеличилось приблизительно на 0,02 см.

Дифференциал функции и функция

Дифференциал — главная часть прироста функции.

Дифференциал функции

Дифференциал функции

Основные свойства дифференциала

  1. Дифференциал постоянной равна нулю   dc = 0.
  2. Дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций   Дифференциал функции
    .
  3. Дифференциал произведения двух функций равен сумме произведений каждой из функций на дифференциал второй функции Дифференциал функции
  4. Дифференциал частного находится по формуле
    Дифференциал функции
    .
    Докажем свойство 3)
    Дифференциал функции
    Дифференциал функции

Свойство инвариантности формы дифференциала

Пусть дана сложная функция y = f (u), где Дифференциал функции
. Тогда Дифференциал функции
,  а Дифференциал функции

Поскольку dy = d [f (x)] = f ‘(x) dx, то можем сделать вывод, если вместо независимой переменной х подставить произвольную функцию от х, то форма дифференциала не меняется. Это свойство носит название инвариантности формы дифференциала.

Применение дифференциалов при приближенных вычислениях

Дифференциалы используют при приближенных вычислениях значений функций, применяя примерное равенство Дифференциал функции
. В развернутом виде имеем:
Дифференциал функции
Откуда значение функции  Дифференциал функции
.

  • Пример 1. Вычислить приближенно ln 1,02 с помощью дифференциала.

Решение. Число ln 1,02 является значением функции y = ln x при х = 1,02. Взяв Дифференциал функции
имеем Дифференциал функции
Дифференциал функции
Итак, ln 1,02 = ln 1 + 1⋅ 0,02 = 0,02.

  • Пример 2. Вычислить Дифференциал функции
    .
    Решение. Запишем Дифференциал функции
    в виде  Дифференциал функции
    Будем рассматривать данное число как значение функции Дифференциал функции
    при  Дифференциал функции
    Взяв Дифференциал функции
    и учитывая, что Дифференциал функции
    имеем

Дифференциал функции
и поэтому
Дифференциал функции

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f ‘(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение — dy = f ‘(x)Δх, или же df (x) = f ‘(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f ‘(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

производная и дифференциал

Дифференциал функции

Если приращение Дифференциал функции
функции Дифференциал функции
в точке Дифференциал функции
представимо в виде Дифференциал функции
(5) где Дифференциал функции
не зависит от Дифференциал функции
то функция называется дифференцируемой в точке.

Таким образом, если равенство (5) верно, то Дифференциал функции

Дифференциалом, Дифференциал функциинезависимой переменной Дифференциал функцииназывается ее приращение Дифференциал функциит. е. по определению полагают Дифференциал функции

Для дифференцируемости функции в точке (т. е. для существования дифференциала) необходимо и достаточно, чтобы функция имела в этой точке конечную производную. Дифференциал функции Дифференциал функции
выражается через производную Дифференциал функции
следующим образом: Дифференциал функции
(6)

Эта формула позволяет вычислять дифференциалы функций, если известны их производные. Если функция Дифференциал функции
дифференцируема в каждой точке интервала Дифференциал функции
то, Дифференциал функции
(7) для всех Дифференциал функции
Равенство (5) может быть записано в виде Дифференциал функции
Если Дифференциал функции
то для приближенного вычисления значения функции в точке Дифференциал функции
можно пользоваться формулой Дифференциал функции
(8) так как абсолютная и относительная погрешности при таком приближении сколь угодно малы при достаточно малом Дж.

Дифференциал функции с примерами

Дифференциалом функции Дифференциал функцииназывается произведение ее производной на приращение независимой переменной: Дифференциал функции
(2.23) В частности, при Дифференциал функции
получаем Дифференциал функции
(2.24) т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Формулу (2.23) можно, следовательно, написать так Дифференциал функции
(2.25) откуда Дифференциал функции
(2-26) dx Дифференциал функции Дифференциал функцииравен приращению Дифференциал функции
ординаты касательной Дифференциал функции
проведенной к графику этой функции в точке Дифференциал функции
когда аргумент получает приращение Дифференциал функции
(рис. 2.1).

Дифференциал функции

Из определения производной и дифференциала вытекает, что Дифференциал функции
где Дифференциал функции
т.е. дифференциал функции отличается от приращения на бесконечно малую высшего порядка, чем Дифференциал функции
Рис. 2.1 При малых Дифференциал функции
справедлива приближенная формула Дифференциал функции
(2.27) или Дифференциал функции
(2.28) Если Дифференциал функции
дифференцируемые функции от Дифференциал функции
постоянная, то верны следующие свойства дифференциалов:

Дифференциал функции
Дифференциал функции

Справочные сведения

Определение производной

Предел отношения Дифференциал функции
при Дифференциал функции
называется производной функции Дифференциал функции
в точке Дифференциал функции
Этот предел обозначают одним из следующих символов: Дифференциал функции
Таким образом, Дифференциал функции
Если в каждой точке Дифференциал функции
существует Дифференциал функции
т. е. если производная Дифференциал функции
существует для всех Дифференциал функции
то функция Дифференциал функции
называется дифференцируемой на интервале Дифференциал функции

Вычисление производной называют дифференцированием.

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Если функции Дифференциал функции
Дифференциал функции
имеют производные в некоторой точке, то функция Дифференциал функции
— постоянные) также имеет в этой точке производную, причем Дифференциал функции
Если функции Дифференциал функции
имеют производные в некоторой точке, то и функция Дифференциал функции
имеет производную в этой точке, причем Дифференциал функции
Если функции Дифференциал функции
имеют производные в некоторой точке и Дифференциал функции
в ней, то функция Дифференциал функции
также имеет производную в этой точке, причем Дифференциал функции

Формулы для производных основных элементарных функций

  • Степенная функция: Дифференциал функции
    Область существования производной функции Дифференциал функции
    может быть и шире. Например, если Дифференциал функции
    то Дифференциал функции
  • Показательная функция. Если Дифференциал функции
    то Дифференциал функции
    в частности, Дифференциал функции
    .
  • Логарифмическая функция. Если Дифференциал функции
    то в частности, Дифференциал функции
  • Тригонометрические функции: Дифференциал функции
  • Обратные тригонометрические функции: Дифференциал функции
  • Гиперболические функции: Дифференциал функции

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f ‘(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f ‘(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f ‘(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x2 = t4.

Далее следует (t +Δt)2 = t2 + 2tΔt + Δt2. Отсюда Δх = 2tΔt + Δt2. Значит: 2xΔх = 2t2 (2tΔt + Δt2 ).

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x2 = t4. Он оказывается равен dy=4t3Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t22tΔt = 4t3Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f ‘(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f ‘(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x2, то Δу = (x + Δх)2 ─ x2= 2xΔх + Δх2, а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх2→0, при х=0 величины Δу = Δх2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х2, так что dV = 3×2Δх = 3∙102∙0/01 = 3 (см3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см3. Полное вычисление дало бы ΔV =10,013 ─ 103 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см3.

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x3, не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = ( Δх + x)3 ─ x3 = 3×2Δх + (3xΔх2 + Δх3).

Здесь коэффициент A= 3×2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх2 + Δх3при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3×2Δх есть дифференциал y = x3:

dy=3×2Δх=3x2dx или же d(x3) = 3x2dx.

При этом d(x3) / dx =3×2.

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х2. Поэтому dy = ─ Δх/х2.

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

найти дифференциал

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f ‘(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f ‘(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f ‘(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

вычисление дифференциала

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f ‘(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

Измерительные инструменты в принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной абсолютной погрешностью, или, короче, предельной погрешностью – положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной относительной погрешностью называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f ‘(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

Оцените статью
Блог про прикладную математику