Что такое матрица: определение и виды

Определение матрицы

Матрица — это набор чисел, которые образуют прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов. Для записи матрицы мы используем следующие обозначения:

 begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} &... & a_ {1n}  a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} &... & a_ {2n}  ldots & ldots & ldots &... & ldots  a_ {m1} & a_ {m2} & a_ {m3} &... & a_ {mn} end {pmatrix}

Для любого элемента а_ {ij} первый индекс я означает номер строки и второй индекс j — номер столбца. Матрица сокращенного типа м раз п можно записать так: А = (а_ {ij}), где это находится я = 1, 2,..., м.

Матрицы, основные определения

Прямоугольная таблица, составленная из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn-матрицей (или просто матрицей) и записывается так: (1)

В матрице (1) числа называются ее элементами (как и в определителе, первый индекс указывает номер строки, второй — столбец, на пересечении которого находится элемент; i = 1, 2, .., m; j = 1, 2, n).

Матрица называется прямоугольной, если .

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число n — ее порядком.

Определитель квадратной матрицы A — это определитель, элементами которого являются элементы матрицы A. Обозначается символом | А|.

Квадратная матрица называется невырожденной (невырожденной, невырожденной), если ее определитель не равен нулю, и специальной (или вырожденной, сингулярной), если ее определитель равен нулю.

Массивы называются равными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов и все соответствующие элементы равны.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Нулевая матрица будет обозначена символом 0 или .

Например,

Матрица-строка (или строка) — это матрица размером 1n, а матрица столбца (или столбца) — это матрица m1.

Матрица A ‘, которая получается из матрицы A заменой содержащихся в ней строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A. Следовательно, для матрицы (1) транспонированная матрица имеет вид

Операция перехода к матрице A ‘, транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A. Для матрицы mn транспонированием является матрица nm.

Матрица A транспонируется относительно матрицы, т. Е

(А ‘)’ = А.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 1. Найдите матрицу A ‘, транспонированную относительно матрицы и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

Правильное решение и ответ .

Главная диагональ квадратной матрицы — это воображаемая линия, соединяющая ее элементы, где оба индекса совпадают. Эти элементы называются диагоналями.

Квадратная матрица, в которой все элементы за пределами главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей. Не все диагональные элементы диагональной матрицы обязательно отличны от нуля. Среди них может быть равное нулю.

Квадратная матрица, в которой элементы на главной диагонали равны одному и тому же ненулевому числу, а все остальные равны нулю, называется скалярной матрицей.

Единичная матрица — это диагональная матрица, в которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичная матрица третьего порядка — это матрица

  • Пример 2. Данные матрицы:

Определите, какие из них неособые (невырожденные, невырожденные).

Решение. Вычислим определители этих матриц. Используя правило треугольников, находим

Следовательно, матрицы A и неособые (невырожденные, невырожденные), а матрица B особая (вырожденная, особая).

Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

  • Пример 3. Приведены матрицы.

Определите, какие из них неособые (невырожденные, невырожденные).

Правильное решение и ответ .

Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Антисимметричная матрица — это квадратная матрица, которая отличается от транспонированной матрицы в -1 раз:

А = -А.

В кососимметричной матрице два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга в -1 раз, а диагональные элементы равны нулю.

Пример антисимметричной матрицы:


Разность матриц

Разность C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

С = А + (- 1) Б.

Для обозначения разницы между двумя матрицами мы используем обозначения:

C = AB.

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица || aij||
порядка n × n называется верхнетреугольной матрицей, если все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, т.е aij = 0 для всех i> j. Например:

верхнетреугольная матрица

Ядро или нуль пространство матрицы

Множество всех решений уравнения Ax = 0, где A — матрица mxn, x — вектор длины n — образует нулевое пространство или ядро ​​матрицы A и обозначается Ker (A) или N (A).

Степень матрицы

Оставь это || aij||
квадратная матрица размерности n × n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

А * А * А *... * А

А0 = Е,

где E — единичная матрица.

Из комбинированного свойства умножения следует:

А ^ р + А ^ д = А ^ (р + д)

где p, q — произвольные неотрицательные целые числа.

Диагонали матрицы

Диагональ матрицы с одинаковыми индексами элементов при одинаковых строках и столбцах называется главной диагональю матрицы.

Например, в матрице

C = begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14}  a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24}  a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34}  a_ {41} & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} fine {pmatrix}

главная диагональ содержит элементы а_ {11}, а_ {22}, а_ {33}, а_ {44}.

Диагональ, содержащая элементы а_ {п}, а_ {2, п-1},… а_ {n1}
она называется боковой диагональю матрицы. В матрице C эта диагональ представлена ​​элементами а_ {14}, а_ {23}, а_ {32}, а_ {41}.

Квадратная матрица

Матрица A размером m × n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов одинаково: m = n. Число m = n называется порядком квадратной матрицы. Например:

квадратная матрица

Умножение матриц

Массивы перемножаются по столбцу. Мы умножаем первую строку первой матрицы на первый столбец второй матрицы, складываем результаты и получаем первый элемент новой матрицы. Аналогичным образом рассчитываем все остальные элементы. Смотрится запутанно, так что давайте пошагово:

  1. У нас есть две матрицы A и B. Нам нужно перемножить их, чтобы получить новую матрицу C.
  2. Размер матрицы A — два на два: две строки и два столбца. Первая строка состоит из элементов А₁₁ и А₁₂; второй — А₂₁ и А₂₂.
  3. Матрица B имеет такой же размер: в ней две строки и два столбца. Первая строка состоит из элементов B₁₁ и B₁₂; второй — B₂₁ и B₂₂.
  4. У нас есть две матрицы одинакового размера с двумя строками и двумя столбцами. Это означает, что матрица C будет размером два на два. Первая строка будет C₁₁ и C₁₂; второй — C₂₁ и C₂₂.
  5. Рассмотрим элемент C₁₁. Умножаем первый элемент первой строки матрицы A (A₁₁) на первый элемент первого столбца матрицы B (B₁₁). Это первая часть, после которой ставим знак плюса. Вторая часть: умножьте второй элемент первой строки матрицы A (A₁₂) на второй элемент первого столбца матрицы B (B₂₁). Складываем обе стороны и получаем первый элемент первой строки матрицы C (C₁₁).
  6. Рассмотрим элемент C₁₂. Умножаем первый элемент первой строки матрицы A (A₁₁) на первый элемент второго столбца матрицы B (B₁₂). Это первая часть. Вторая часть: умножьте второй элемент первой строки матрицы A (A₁₂) на второй элемент второго столбца матрицы B (B₂₂). Складываем части и получаем второй элемент первой строки матрицы C (C₁₂).
  7. Рассмотрим элемент C₂₁. Умножаем первый элемент второй строки матрицы A (A₂₁) на первый элемент первого столбца матрицы B (B₁₁). Это первая часть. Вторая часть: умножьте второй элемент второй строки матрицы A (A₂₂) на второй элемент первого столбца матрицы B (B₂₁). Складываем части и получаем первый элемент второй строки матрицы C (C₂₁).
  8. Рассмотрим элемент C₂₂. Умножаем первый элемент второй строки матрицы A (A₂₁) на первый элемент второго столбца матрицы B (B₁₂). Это первая часть. Вторая часть: умножьте второй элемент второй строки матрицы A (A₂₂) на второй элемент второго столбца матрицы B (B₂₂). Складываем части и получаем второй элемент второй строки матрицы C (C₂₂).

Если нам нужно найти квадратную матрицу, мы умножаем эту матрицу на себя. Если вам нужна матрица в кубе, мы умножаем ее на себя трижды и так далее, в зависимости от количества градусов. Если в одной из матриц все элементы равны нулю, тогда она считается нулевой, и после умножения на другую матрицу она дает нулевую матрицу — это похоже на то, что умножение нуля на число всегда дает ноль.

Формула умножения матриц
Формула умножения матрицПример умножения квадратных матриц размера 2 × 2
Пример умножения квадратных матриц размера 2 × 2

Виды матриц

Матрицы бывают квадратными и прямоугольными, диагональными, скалярными, нулевыми, идентичными, столбцами и строками. Дадим определение каждой матрице и рассмотрим их на примерах.

Прямоугольная матрица

Если количество строк в матрице не равно количеству столбцов m neq n, поэтому матрица называется прямоугольной. Примеры прямоугольной матрицы

A = begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13}  a_ {21} & a_ {22} & a_ {23}  a_ {31} & a_ {32} & a_ {33}  a_ {41} & a_ {42} & a_ {43} fine {pmatrix}
а также

B = begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} & a_ {15}  a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ { 24} & a_ {25}  a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} & a_ {35} fine {pmatrix}

Квадратная матрица

Если количество строк равно количеству столбцов (т = п)тогда мы получаем квадратную матрицу. Примеры квадратных матриц:

A = begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13}  a_ {21} & a_ {22} & a_ {23}  a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} штраф {pmatrice}

а также

B = begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14}  a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24}  a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34}  a_ {41} & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} fine {pmatrix}

Количество столбцов или строк квадратной матрицы указывает их порядок. Следовательно, матрица A в нашем примере имеет третий порядок, а матрица B четвертого порядка.

Нулевая матрица

Если все элементы в массиве равны нулю, этот массив называется нулевым массивом. Например,

O = begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0  0 & 0 & 0 & 0  0 & 0 & 0 & 0  ldots & ldots & ldots  0 & 0 & 0 & 0 end {matrix}

Нулевая матрица обозначается буквой Ой.

Диагональная матрица

Квадратная матрица, в которой только элементы главной диагонали отличны от нуля, называется диагональной матрицей. Пример диагональной матрицы:

A = begin {pmatrix} a_ {11} & 0 & 0 & 0  0 & a_ {22} & 0 & 0  0 & 0 & a_ {33} & 0  0 & 0 & 0 & a_ {44} fine {pmatrix}

Например, диагональные матрицы:

A = begin {pmatrix} 2 & 0} & 0  0 & 1 & 0  0 & 0 & -4 end {pmatrix}

а также

B = begin {pmatrix} 7 & 0 & 0 & 0  0 & 4 & 0 & 0  0 & 0 & 11 & 0  0 & 0 & 0 & -5 end {pmatrix}

Скалярная матрица

Если в диагональной матрице все числа на главной диагонали равны друг другу, то матрица называется скаляром.

Например,

A = begin {pmatrix} 7 & 0 & 0 & 0  0 & 7 & 0 & 0  0 & 0 & 7 & 0  0 & 0 & 0 & 7 end {pmatrix}

Единичная матрица

Если все числа в диагональной матрице, расположенной на главной диагонали, равны единице, эта матрица называется единичной матрицей. Написано и обозначено следующим образом:

E = begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  0 & 1 & 0 & 0  0 & 0 & 1 & 0  0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}

Матрица-строка

В прямоугольной матрице, такой как м раз п
есть случаи, когда m = 1, поэтому мы будем говорить о матрице-строке.

Пример:

A = start {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} &... & a_ {1n} end {pmatrix}

Простые операции с матрицами

Убрав минус из матрицы. Если большинство элементов в матрице имеют знак минус, это часто мешает вычислениям или приводит к ошибкам. Чтобы этого не произошло, избавьтесь от минуса. Для этого нужно переместить знак минус за пределы матрицы и изменить знак всех элементов внутри самой матрицы.

И наоборот: если внутри матрицы большинство элементов имеют знак минус, а перед матрицей стоит минус, то в матрицу можно вставить минус.

Вынимаем минус из матрицы и получаем вместо двадцати одного отрицательного элемента: четыре
Вынимаем минус из матрицы и получаем вместо двадцати одного отрицательного элемента: четыреОбщий вид матрицы
Перед матрицей стоит минус, а внутри большинства элементов — минус. Введем в матрицу минус и сделаем ее удобной для дальнейших вычислений

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, просто умножьте каждый элемент матрицы на это число.

Пример умножения матрицы на число
Пример умножения матрицы на число

Перестановка матриц. Это операция, которая нам понадобится позже для решения матричных уравнений. Для транспонирования мы берем известную матрицу, меняем местами строки столбцами и получаем новую матрицу. Как поставить матрицу на бок.

При этом запрещается изменять элементы матрицы в произвольном порядке. Но вы можете полностью поменять местами строки или столбцы. Если мы поменяем местами первую и вторую строки, останется та же матрица.

Схема перестановки матриц
Схема транспонирования матрицы: первая строка переходит в первый столбец, вторая строка идет во второй столбец и так далее, в зависимости от количества элементов матрицы

Пример транспозиции
Пример транспозиции. Транспонированная матрица обозначается буквой той же матрицы, из которой она была получена + верхний индекс в виде печатной буквы «Т»

Матрицу можно смешивать, но делать это нужно по правилам
Матрицу можно смешивать, но делать это нужно по правилам. Транспонирование — одно из этих правил

Сложение и вычитание матриц

Если несколько матриц имеют одинаковое количество строк и столбцов, мы можем складывать и вычитать их. Для вычислений мы должны добавлять или вычитать каждый элемент массивов поэлементно: мы складываем первый элемент первой матрицы с первым элементом второй матрицы или вычитаем из него, и так далее. В результате мы получаем новую матрицу.

Пример добавления двух прямоугольных матриц с тремя строками и двумя столбцами
Пример добавления двух прямоугольных матриц с тремя строками и двумя столбцами Пример вычитания двух матриц
Пример вычитания двух матриц

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Дана матрица $ A_ {m times n} $. Если $ m = 1 $ (матрица состоит из одной строки), данная матрица называется матрицей-строкой. Если $ n = 1 $ (матрица состоит из столбца), эта матрица называется матрицей столбцов. Например, $ left ( begin {array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 end {array} right) $ — это массив строк, а $ left ( begin {array } {c} -1 5 6 end {array} right) $ — это массив столбцов.

Если для матрицы $ A_ {m times n} $ выполняется условие $ m neq n $ (то есть количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $ A $ является массив прямоугольный. Например, массив $ left ( begin {array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 5 & 9 & 5 & 1 end {array} right) $ равен $ 2 times 4 $, содержит 2 строки и 4 столбца. Поскольку количество строк не равно количеству столбцов, эта матрица имеет прямоугольную форму.

Если для матрицы $ A_ {m times n} $ выполняется условие $ m = n $ (т.е количество строк равно количеству столбцов), то $ A $ называется квадратной матрицей порядка $ n. $. Например, $ left ( begin {array} {cc} -1 & -2 5 & 9 end {array} right) $ — квадратная матрица второго порядка; $ left ( begin {array} {ccc} -1 & -2 & 9 5 & 9 & 8 1 & 0 & 4 end {array} right) $ — квадратная матрица третьего порядка. В общем случае квадратную матрицу $ A_ {n times n} $ можно записать следующим образом:

$$ A_ {n times n} = left ( begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & ldots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & ldots & a_ {2n} ldots & ldots & ldots & ldots a_ {n1} & a_ {n2} & ldots & a_ {nn} end {array} right) $

Элементы $ a_ {11} $, $ a_ {22} $, $ ldots $, $ a_ {nn} $ называются лежащими на главной диагонали матрицы $ A_ {n times n} $. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $ a_ {1n} $, $ a_ {2 ; n-1} $, $ ldots $, $ a_ {n1} $ находятся на вторичной (малой) диагонали; их называют боковыми диагональными элементами. Например, для массива $ C = left ( begin {array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 5 & 9 & 8 & 0 1 & 0 & 4 & -7 — 4 & -9 & 5 & 6 end {array} right) $ имеем:

Диагональ

Элементы $ c_ {11} = 2 $, $ c_ {22} = 9 $, $ c_ {33} = 4 $, $ c_ {44} = 6 $ — главные диагональные элементы; элементы $ c_ {14} = 1 $, $ c_ {23} = 8 $, $ c_ {32} = 0 $, $ c_ {41} = — 4 $ — боковые диагональные элементы.

Сумма элементов главной диагонали называется следом матрицы и обозначается $ Tr A $ (или $ Sp A$):

$$ Tr A = a_ {11} + a_ {22} + ldots + a_ {nn} $

Например, для массива $ C = left ( begin {array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 5 & 9 & 8 & 0 1 & 0 & 4 & -7 — 4 & -9 & 5 & 6 end {array} right) $ имеем:

$$ Tr C = 2 + 9 + 4 + 6 = 21. $

Концепция диагональных элементов также используется для неквадратных матриц. Например, для массива $ B = left ( begin {array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 5 & -9 & 8 & 0 & -6 1 & 0 & 4 & — 7 & -6 end {array} right) $ главными диагональными элементами являются $ b_ {11} = 2 $, $ b_ {22} = — 9 $, $ b_ {33} = 4$.

Специальные виды матриц

Нулевая матрица: Матрица произвольного порядка называется нулевой матрицей тогда и только тогда, когда каждый элемент матрицы равен нулю. $ left ( begin {array} {rrr} 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {array} right) $

Матрица вектор-строка — это матрица, которая имеет только одну строку. $ left ( start {array} {rrr} 3x & 2y & 45xy & 9 end {array} right) $

Матрица вектор-столбец — это матрица, которая имеет только один столбец. $ left ( start {matrix} {ccc} 45 3 0 end {matrix} right) $

Единичная матрица

Квадратная матрица порядка n, в которой одна на главной диагонали, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается E или E n, где n — порядок матрицы . Матрица единиц порядка 3 выглядит следующим образом:

единичная матрица

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица || aij||
порядка n × n называется нижнетреугольной матрицей, если все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, т.е aij = 0, для каждого i

нижнетреугольная матрица

Строки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются R (AT).

Столбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются R (A).

Противоположная матрица

Для каждой матрицы A существует противоположная матрица -A такая, что A + (- A) = 0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1) A, элементы которой отличаются от элементов A на знак.

Матрица столбец

Матрица размера m × 1, т.е столбец, называется матрицей столбца. Например

столбец матрицы

Оцените статью
Блог про прикладную математику