Что такое матанализ: примеры тем и задач

Введение в математический анализ

Математическим анализом называют раздел математики, в котором функции изучаются методом пределов. Данное пособие знакомит студентов со следующими разделами: теория пределов, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, ряды, дифференциальные уравнения.

Замечания о доказательствах

Типичное математическое утверждение имеет вид где — посылка, а — заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением).

В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вывода: если истинно и то
тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать также принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание
считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания
Следовательно, мы одновременно принимаем, что т. е. повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

Некоторые специальные обозначения

Для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знаками и соответственно.

Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посредством специального символа (равенство по определению), в котором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Например, запись

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предполагается известным.

Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенных выражений. Например,запись

вводит обозначение для стоящей слева суммы специального вида.

Заключительные замечания

Отметим, что мы здесь говорили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводимости, составляющих предмет исследования математической логики.

Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конечностями.

Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого были открыты еще в XVII —XVIII веках, но приобрели современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и необходимой для нее логически полноценной теории действительных чисел (XIX век).

Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в главе II построение всего здания анализа

Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с III главы, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости.

Понятие множества

С конца прошлого — начала нашего столетия наиболее универсальным языком математики стал язык теории множеств. Это проявилось даже в одном из определений математики как науки, изучающей различные структуры (отношения) на множествах).

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» — так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.

Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, поскольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества. Цель этого описания — разъяснить понятие, связав его с другими.

Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «наивной») теории множеств сводятся к следующему:

1. Множество может состоять из любых различимых объектов.
2. Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
3. Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если — объект, — свойство, — обозначение того, что обладает свойством то через обозначают весь класс объектов, обладающих свойством

Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Понятие функции (отображения)

Перейдем теперь к описанию фундаментального не только для математики понятия функциональной зависимости.

Пусть — какие-то множества.

Говорят, что имеется функция, определенная на со значениями в если в силу некоторого закона каждому элементу соответствует элемент

В этом случае множество называется областью определения функции; символ
его общего элемента — аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению
аргумента элемент называют значением функции на элементе
или значением функции при значении аргумента и обозначают через
При изменении аргумента значения
вообще говоря, меняются в зависимости от значений
По этой причине величину часто называют зависимой переменной.

Множество

всех значений функции, которые она принимает на элементах множества будем называть множеством значений или областью-значений функции.

В зависимости от природы множеств термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, преобразование, морфизм, оператор, функционал. Отображение — наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем употреблять.

Для функции (отображения) приняты следующие обозначения:

Пример решения

Условие:

Формулы устанавливают функциональную зависимость длины окружности и объема шара от радиуса
По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию определенную на множестве положительных действительных чисел со значениями в том же множестве

Решение:

Пусть — множество инерциальных систем координат, а — функция, состоящая в том, что каждой инерциальной системе координат сопоставляется измеренное относительно нее значение скорости света в вакууме. Функция постоянна, т. е. при любом она имеет одно и то же значение (это фундаментальный экспериментальный факт).

Целые числа

Объединение множества натуральных чисел, множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля называется множеством целых чисел и обозначается символом

Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натуральных чисел не выводят за пределы
то эти же операции над целыми числами не выводят за пределы множества

Действительно, если то либо одно из этих чисел равно нулю и тогда сумма
равна другому числу, т. е. a произведение либо оба числа отличны от нуля. В последнем случае либо и тогда либо
и тогда либо
и тогда т.е. либо, наконец, и тогда и снова

Таким образом, есть абелева группа по отношению к операции сложения. По отношению к операции умножения множество и даже не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат в (кроме числа, обратного единице и минус единице).

Рациональные числа

Числа вида называются рациональными.

Множество рациональных чисел обозначается знаком
Таким образом, упорядоченная пара
целых чисел определяет рациональное число если

Число записывают также в виде отношения или так называемой рациональной дроби

Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вытекают из определения рационального числа и аксиом действительных чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля целое число величина дроби не изменяется», т. е. дроби
и — представляют одно и то же рациональное число. В самом деле, поскольку

Иррациональные числа

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Классическим примером иррационального действительного числа является т. е. число такое, что
Иррациональность в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.

Итак, проверим, во-первых, что существует положительное действительное число
квадрат которого равен двум, и, во-вторых, что

Пусть — множества положительных действительных чисел такие, что
Поскольку -непустые множества.

Далее, поскольку для положительных то любой элемент меньше любого элемента
По аксиоме полноты существует число такое, что

Покажем, что

Если бы было то, например, квадрат числа большего чем был бы меньше 2. Действительно, ведь поэтому и
Значит,

Следовательно, что несовместимо с неравенством для любого элемента

Если бы было то, например, квадрат числа
меньшего чем был бы больше 2. Действительно, ведь поэтому или
Отсюда

и мы вступаем в противоречие с тем, что
ограничивает множество снизу. Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность:
Покажем, наконец, что
Предположим, что и пусть
несократимое представление Тогда следовательно, а значит, и делится на 2. Но если и по той же причине должно делиться на 2, что противоречит несократимости дроби

Предел. Определения и примеры

Напомним следующее

Функция областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения функции называются членами последовательности.

Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое идет отображение, наделяя символ соответствующиминдексом аргумента,
Саму последовательность в связи с этим обозначают символом а также записывают в виде и называют последовательностью в или последовательностью элементов множества

Элемент называется членом последовательности.

Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться только последовательности
действительных чисел.

Число называется пределом числовой последовательности если для любой окрестности точки существует такой номер (выбираемый в зависимости от что все члены последовательности, номера которых больше содержатся в указанной окрестности точки

Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определения, но прежде укажем другую распространенную формулировку определения предела числовой последовательности:

Число
называется пределом последовательности если для любого существует номер такой, что при всех имеем

Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!), если заметить, что в любой окрестности
точки содержится некоторая окрестность этой же точки.

Последняя формулировка определения предела означает, что, какую бы точность мы ни задали, найдется номер такой, что абсолютная погрешность приближения числа
членами последовательности меньше чем как только

Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в логической символике, договорившись, что запись означает, что предел последовательности
Итак,

и соответственно

Если то говорят, что последовательность сходится к или стремится к и пишут при

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

1. Примеры с решением
2. 
   
3. 
4. 

Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. И, § 2, 4с, для любого
можно найти число такое, что
Поскольку то для любого
будем иметь и определение предела удовлетворено.

Критерий Коши

Последовательность называется фундаментальной (или последовательностью Кошиесли для любого числа найдется такой номер что из следует

Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Пусть
По числу найдем номер так, чтобы при иметь
Если теперь
и, таким образом, проверено, что сходящаясяпоследовательность фундаментальна.

Пусть теперь — фундаментальная последовательность. По заданному найдем номер такой, что из следует

Фиксировав получаем, что при любом

но поскольку имеется всего конечное число членов последовательности с номерами,-не превосходящими то мы доказали, что фундаментальная последовательность ограничена.

Для положим теперь

Из этих определений видно, что
(поскольку при переходе к меньшему множеству нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков
имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку

Поскольку при любом

а при

то при имеем

Но из (1) следует, что при

поэтому при

Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом

и мы показали, что

Пример с решением

Последовательность
не имеет предела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевидно, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения, что последовательность
фундаментальная, выглядит так:

т. е. найдется такое, что при любом найдутся числа большие для которых

В нашем случае достаточно положить
Тогда при любом будем иметь