Что такое действительные числа: понятие и примеры

Иррациональные числа

Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, т. е. не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называют иррациональными.

Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 (рис. 1.1) должна выражаться некоторым положительным числом
таким, что 
(по теореме Пифагора, см. с. 422), т. е. таким, что
Число
не может быть целым, так как
и т. д. Число
не может быть и дробным; если
несократимая дробь, где
тоже будет несократимой дробью, где
значит, 
не является целым числом, а потому не может быть равно 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается
(читается: «квадратный корень из двух»).

Аналогично, не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются

Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются

Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число
выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби — это иррациональное число.

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби (см. п. 17) и в свою очередь любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число (см. п. 18). В то же время любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь есть иррациональное число.

Вообще, любое действительное число предста-вимо в виде бесконечной десятичной дроби, причем периодической, если это рациональное число (см. п. 17), и непериодической, если это иррациональное число.

Действительные числа. Числовая прямая

Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чисел.

Проведем прямую
отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, выберем направление и единичный отрезок [0; 1] (рис. 1.2).

В этом случае говорят, что задана координатная прямая. Каждому числу соответствует одна точка прямой
Пусть, например, дано число 3. Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок три раза, получим точку А — эта точка и соответствует числу 3.

Возьмем число
Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок четыре раза, а затем еще
часть отрезка, получим точку В — она и соответствует числу

Если точка М прямой
соответствует некоторому числу
то это число называют координатой точки, в таком случае пишут
Так, для точек J, А, В (рис. 1.2) можно указать их координаты J (1), А (3), 
Координатой точки О считается число

нуль.

Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки О в направлении, противоположном заданному. Получим точку А’, симметричную точке А относительно начала отсчета О. Координатой точки А является число 3, а координату точки А’ записывают так: -3. Аналогично, координатой точки В’, симметричной точке В, на рисунке 1.2 считается число

Точка О, соответствующая числу 0, отделяет на координатной прямой точки с положительными координатами от точек с отрицательными координатами.

Заданное направление на координатной прямой называют положительным (обычно оно идет вправо), а направление, противоположное заданному,— отрицательным.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу — достаточно найти расстояние от этой точки до начала отсчета и поставить перед найденным числом знак + или — в зависимости от того, справа или слева от начала отсчета находится заданная точка). Для краткости обычно вместо фразы «точка координатной прямой, соответствующая действительному числу
», пишут и говорят «точка », а употребляя термин «число », имеют в виду «действительное число ».

Множество действительных чисел называют также числовой прямой. Геометрической моделью числовой прямой служит координатная прямая.

Определение действительных чисел

Рациональные числа объединяют в себе целые числа и дробные числа. А действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Отсюда сформулируем определение действительных чисел.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль.

Множество рациональных чисел —

Иррациональное число — это число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби m/n.

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Множество иррациональных чисел —

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных чисел вместе с множеством иррациональных чисел. Это множество R иначе обозначается как область действительных чисел (-∞; +∞). Можно записать так, что R есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел:

Так как любое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической дроби, а иррациональные числа представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями, то определение действительных чисел можно сформулировать по-другому.

Действительные числа — это числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной, периодической или непериодической десятичной дроби. Их иногда называют вещественными.

Примеры действительных чисел:

Число нуль также является действительным числом, так как 0 — рациональное число.

Из определения действительных чисел можно сделать вывод, что существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа, а нуль — ни положительное, ни отрицательное действительное число.

При помощи действительных чисел можно описать величины, значения которых могут изменяться непрерывно. Проще говоря, действительные числа дают возможность численно выражать значение непрерывно изменяющейся величины через единичное значение этой величины.

Действительные числа на координатной прямой

Координатная прямая — это прямая, которая изображается с определенной точкой отсчета, которая принимается за 0, единичным отрезком и заданным направлением движения.

Интересный факт: действительные числа заполняют каждую точку координатной прямой.

Каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число — координата этой точки. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на координатной прямой. То есть, между действительными числами и точками координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

По определению действительными числами являются:

• любое натуральное число;
• любое целое число;
• любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
• любое смешанное число;
• любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Часто можно встретить действительные числа в виде корней, степеней, логарифмов и др. Кроме того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа.

Также из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций можно составлять числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений

и

будут действительные числа.

Сравнение действительных чисел

Для любых неравных действительных чисел
и можно сказать, какое больше, а какое меньше. Говорят, что число
больше числа
, и пишут
>
, если разность
—
— положительное число; если же разность
— 
— отрицательное число, то говорят, что число
меньше числа
, и пишут
<
. Согласно этому определению, любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Для любых заданных чисел
и
верно одно и только одно из отношений:
>
,
<
,
=
.

С геометрической точки зрения неравенство
<
(
>
) означает, что точка
расположена на координатной прямой левее (правее) точки
.

Знаки <, > называют знаками строгих неравенств. Иногда используют знаки — знаки нестрогих неравенств; запись
означает, что верно одно из двух: или число
меньше числа
, или число
равно числу
. Например,
— верные неравенства. Неравенства
называют неравенствами одного знака; неравенства
и
называют неравенствами противоположных знаков. Если числа
таковы, что
то используется запись

Пример:

Сравнить числа
и 0,67.

Решение:

Составим разность
— 0,67 и найдем значение этой разности:

Разность отрицательна, поэтому
< 0,67.

Пример №1

Привести примеры нескольких рациональных и иррациональных чисел, расположенных на числовой прямой между
и
.

Решение:

Так как
и
,то в качестве рациональных чисел, удовлетворяющих условию задачи, можно взять, например, числа
или
. Примерами иррациональных чисел будут
,.

Пример №2

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Для избавления от иррациональности воспользуемся приёмом одновременного домножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю (понятие сопряжённого выражения подробно рассматривается ниже в разделе, посвящённом решению иррациональных уравнений и неравенств)

• 
• Воспользуемся тождеством
  Если положить в нём , то получим, что к выражению
  сопряжённым будет
  . Далее, домножим одновременно числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к знаменателю:

• Имеем тождество: . Если положить в нём
  , то получим, что для выражения, находящегося в знаменателе дроби, сопряжённым служит
  :

• Имеем

• При
  имеем:

(отметим изменение ОДЗ в процессе преобразований: при умножении и делении на
возникло дополнительное ограничение

Пример №3

Упростить числа:

Решение:

• 1-й способ (метод неопределённых коэффициентов). Предположим, что под знаком радикала находится полный квадрат вида

Раскрывая квадрат, получим
. Равенство

при натуральных а и b выполняется тогда и только тогда, когда
Решим полученную систему подбором. Условию
удовлетворяют только четыре пары натуральных чисел

Из них условию
удовлетворяет лишь последняя. Таким образом,

2-й способ (с помощью формулы сложного радикала). Пусть а и b — действительные числа, такие, что


. Тогда справедливо тождество

называемое формулой сложного радикала. Доказывается эта формула возведением в квадрат обеих её частей. Эта формула была известна ещё древним арабам. Она позволяет представить один радикал в виде суммы или разности двух других.

Вернёмся к задаче. Имеем
Поэтому
и, следовательно,
. Применяя формулу сложного радикала, получаем

• 1-й способ. Представим число x в виде

2-й способ. Заметим, что, очевидно, X > 0, и возведем равенство
в квадрат последовательно два раза:

откуда получаем тот же результат.

• Отметив, что X > 0 , возведём равенство
  в квадрат:
  Это квадратное уравнение имеет два корня
  Итак, это число 2.
• Отметим, что данное число положительно, и возведём равенство
  в квадрат. После несложных вычислений получим, что

Пример №4

Сравнить числа

Решение:

Обозначим первое из чисел за x, и возведём равенство

в куб, используя формулу сокращённого умножения

Тогда получим

Заметим, что x = 1 является корнем последнего уравнения. Делением многочлена
на
убеждаемся в том, что полученный в результате деления трёхчлен
не имеет действительных корней. Таким образом,
— единственный корень кубического уравнения. Следовательно, первое из сравниваемых равно 1. Ответ: числа равны.

Пример №5

Что больше:
или
?

Решение:

Уединив кубический корень, возведём оба числа в куб:

Ответ: первое число больше.

Пример №6

Что больше:

Решение:

Выделяя полный квадрат под знаком квадратного корня в первом из чисел, получим:

Ответ: второе число больше.

Пример №7

Расположить в порядке возрастания числа

Решение:

Рассмотрим функцию
при
. Введём вспомогательную функцию

значения которой при
равны соответственно ординатам точек
(поскольку отрезки
являются соответственно средними линиями трапеций


Покажем, что эта функция убывает при
. Действительно, её производная

т.к.
— убывающая функция.

Тогда имеем цепочку неравенств

т.е.
. откуда приходим к ответу.

Замечание. Полученный результат в действительности является прямым

следствием того, что график функции
при
имеет выпуклость, направленную вверх (в строгом смысле).

Ответ:

Пример №8

Найти все целые а и b, для которых один из корней уравнения
равен

Решение:

Подставим в уравнение вместо
значение корня
:

и приведём последнее равенство к виду

Заметим, что произведение рационального числа
и иррационального числа
всегда иррационально, за исключением случая, когда
равно нулю (тогда это произведение рационально). В правой части равенства находится рациональное число
Поэтому равенство возможно

тогда и только тогда, когда

т.е. при

Пример №9

Найти все целые n, при которых справедливо paвенство

Решение:

Поскольку при целых n число
может быть или целым, или иррациональным, а число
-рационально, то отсюда заключаем, что
— целое число. Но тогда, в свою очередь, число
должно принимать целые значения, т.е. дробь
должна быть целым числом. Это возмож-но тогда и только тогда, когда
Учтём, что
Имеем набор возможных значений n:

Проверкой убеждаемся, что из всех этих значений исходному равенству удовлетворяет только

Ответ:

Обозначения некоторых числовых множеств

• N — множество натуральных чисел.
• Z — множество целых чисел.
• Q — множество рациональных чисел.
• R — множество действительных чисел.

Запись
(читается: «
принадлежит множеству N») обозначает, что
— натуральное число. Аналогичный смысл имеют следующие обозначения:
(
— целое число),
(
— рациональное число),
(х — действительное число).

Свойства числовых неравенств

Для любых действительных чисел
выполняются следующие свойства:

• Если
• Если
  (свойство транзитивности).
• Если
• Если
  — положительное число(с > 0), то
  Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число и сохранить тот же знак неравенства, то получится верное неравенство.

Доказательство:

Рассмотрим разность
Имеем

По условию, с — положительное число, а так как
то и
— положительное число. Но произведение двух положительных чисел есть положительное число, значит,
Таким образом,
Но если разность
— положительное число, то

• Если
  — отрицательное число (с < 0), то 
  Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.
• Если
  (если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство).
• Если
  — положительные числа, причем
  (если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство).

Доказательство:

Так как 
, то, по свойству 4°, <br>; аналогично, из
Так как, далее,

• Если
• Если
• Если
  то для любого натурального числа
  выполняется неравенство

Числовые промежутки

Возьмем два числа
и
такие, что
, и отметим на координатной прямой соответствующие им точки.

Произвольная точка х, лежащая между
и
, соответствует числу, которое удовлетворяет неравенствам
Множество всех чисел х, удовлетворяющих этим неравенствам, обозначают
и называют интервалом.

Множество всех чисел х, каждое из которых удовлетворяет неравенствам
обозначают
и называют отрезком.

Интервал и отрезок — это конечные числовые промежутки. Конечные числовые промежутки бывают еще двух видов:
— это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 
— это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
. Эти промежутки называют полуинтервалами.

Бывают и бесконечные числовые промежутки. Множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
, обозначают
и называют лучом, а множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству
, обозначают
и называют открытым лучом. Знак
читается: «плюс бесконечность».

Аналогично, может быть луч вида
(числа, удовлетворяющие неравенству
) и открытый луч вида
(числа, удовлетворяющие неравенству
). Знак
читается: «минус бесконечность».

В приведенной ниже таблице для каждого вида числового промежутка даны его геометрическое изображение, обозначение и запись с помощью неравенств.

На практике не всегда используют термины «интервал», «отрезок», «полуинтервал», «луч», заменяя их общим названием числовой промежуток.

Модуль действительного числа

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называют само это число, если , и противоположное число —
, если < 0. Модуль числа обозначают ||. Итак,

Например,
, так как  
3,14…);

|-3,7| = -(-3,7) = 3,7, так как -3,7 < 0.

Геометрически |
| означает расстояние на координатной прямой точки
от точки О (рис. 1.3).

Свойства модулей:

Формула расстояния между двумя точками координатной прямой

Если и — две точки координатной прямой, то расстояние между ними выражается формулой

Так,

Пример:

Найти все такие точки х, которые удовлетворяют: а) уравнению |х — 1| = 3; б) неравенству |х + 1|  2.

Решение:

1. Уравнению удовлетворяют такие точки х, расстояние которых от точки 1 равно 3. Это точки -2 и 4 (рис. 1.5). Значит, уравнение имеет два корня: -2; 4.
2. Неравенству удовлетворяют такие точки х, которые удалены от точки — 1 на расстояние, меньшее или равное 2. Это точки из отрезка [-3; 1].

Правила действий над положительными и отрицательными числами

Сумма двух чисел одного знака есть число того же знака; чтобы найти модуль такой суммы, надо сложить модули слагаемых. Например, (+12) + (+8) = +20; (-12) + (-8) = -20.

Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль этой суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Например, (+12) + (-8) = + (12 — 8) = 4; (-12) + (+8) = = -(12 — 8) = -4.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например, 12 — (-8) = 12 + 8 = 20; 12 — (+8) = 12 + (-8) = 4.

Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное, а произведение (частное) двух чисел разных знаков есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить) модули данных чисел. Например,

Свойства арифметических действий над действительными числами

Эти свойства называют иногда основными законами алгебры, причем свойства 1° и 5° выражают переместительный закон соответственно сложения и умножения, свойства 2° и 6° — сочетательный закон, а свойство 7° — распределительный закон умножения относительно сложения.

Из этих свойств выводятся другие свойства. Например,
В самом деле, имеем

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

(+8)+(+2)=+10; (-5)+(-4)=-9.

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

(+2)+(-7)=-5; (+10)+(-4)=+6.

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a-b = a + (-b), то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: (+5)-(-7)=(+3)+(+7)=12; (+6)-(+4)=(+6)+(-4)=+2.

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга — мой друг, враг моего врага — мой друг, друг моего врага — мой враг, враг моего друга — мой враг».

Например:

(+2)(+7) = +14 ; (-2)(+6) = -12 ;(-2)(-8) = 16 ;

Пропорции

Пусть
— действительные числа, отличные от 0, и пусть имеет место равенство
Это равенство называют пропорцией, числа — крайними членами, а числа и — средними членами пропорции.

Для пропорции можно использовать и запись

Например, можно составить пропорцию из чисел 2,5; -4; -5 и 8:

Справедливы следующие утверждения:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Крайние члены пропорции можно

поменять местами, т. е. если

Средние члены пропорции можно

поменять местами, т. е. если

Целая часть числа. Дробная часть числа

Пусть х — действительное число. Его целой частью называют наибольшее целое число, не превосходящее х; целую часть числа х обозначают [х]. Дробной частью числа х называют разность между числом и его целой частью, т. е. х — [х]; дробную часть числа обозначают {х}. Значит,

{х} = х — [х].

Например, [2,35] = 2, {2,35} = 0,35;

[10] = 10, {10} = 0;

[-0,85] = -1, {-0,85} = -0,85 — (-1) = 0,15.

Степень с натуральным показателем

Пусть — действительное число, а — натуральное число, большее единицы, -й степенью числа называют произведение множителей, каждый из которых равен :

Если
= 1, то полагают

Число — основание степени, — показатель степени.

Например,

Справедливы следующие свойства степени с натуральным показателем:

Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем

Полагают по определению: если, то

Например,
Нулевая степень числа 0 не имеет смысла.

Полагают по определению: если и — натуральное число, то

Например,

Справедливо равенство

Стандартный вид положительного действительного числа

Любое положительное число можно представить в виде a — целое число.

Примеры

• Если а = 395, то
  и 
  = 2.
• Если а = 4,13, то
  и
  = 0.
• Если а = 0,0023, то
  
  = -3.

Если положительное число
представлено в виде — целое число, то говорят, что число записано в стандартном виде; при этом показатель называют порядком числа.

Для того чтобы положительное число
представить в стандартном виде, нужно поставить запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра (см. п. 14), и умножить полученное число на 
так, чтобы в результате умножения запятая вернулась на то место, которое она занимала в числе
. Так мы действовали в примерах 1, 2, 3.

В примере 1, отделив в числе 395 первую значащую цифру, получили 3,95; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на две цифры вправо — это равносильно умножению на
. Значит,

В примере 2 уже отделена запятой одна значащая цифра, поэтому

В примере 3, отделив запятой в числе 0,0023 первую значащую цифру, получили 2,3; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на три цифры влево — это равносильно делению на
или умножению на
Значит,

Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней

Если
и
— натуральное число, большее 1, то существует, и только одно, неотрицательное число х такое, что выполняется равенство
Это число х называют арифметическим корнем-й степени из неотрицательного числа и обозначают
Число называют подкоренным числом, — показателем корня. Если
= 2, то обычно пишут
(опуская показатель корня) и называют это выражение квадратным корнем. Часто вместо термина «корень» употребляют термин «радикал».

Итак, согласно определению, запись где означает, во-первых, что и, во-вторых, что
т. е.

Например,
Если
то справедливы следующие свойства:

Свойство 1° распространяется на произведение любого числа множителей. Например,

Пример:

Упростить:

Решение:

(показатели корня и подкоренного выражения разделили на 2).

Корень нечетной степени из отрицательного числа

Пусть < 0, а — натуральное число, большее 1. Если — нечетное число, то существует одно и только одно действительное число х такое, что . Это число обозначают и называют корнем нечетной степени из отрицательного числа .

Если же — четное число, то равенство не выполняется ни при каком действительном значении х. Это значит, что на множестве действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа.

Например,

Запись
не имеет смысла.

В случае нечетных показателей корней свойства радикалов, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений (п. 35), верны и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Например, для любых и .

Степень с дробным показателем

Полагают по определению: если — натуральные числа, , то

если > 0, то

Нецелая степень отрицательного числа не имеет смысла.

Пример:

Вычислить 

Решение:

Свойства степеней с рациональными показателями

Для любого числа

• определена операция возведения в натуральную степень; для любого числа
• определена операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень; для любого
• определена операция возведения в положительную дробную степень, и, наконец, для любого
• определена операция возведения в отрицательную дробную степень.

Пример:

Вычислить 

Решение:

В итоге получаем

Если — любые рациональные числа, то:

Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности

При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Пример 1

Округлить число = 2471,05624 с точностью до: а) десятков; б) единиц; в) десятых; г) сотых; д) тысячных.

Решение:

• Цифра единиц, следующая за разрядом десятков, равна 1, т. е. меньше 5. Значит, округлив до десятков, имеем
  
  2470. Знак
  называют знаком приближенного равенства.
• Цифра десятых равна 0, значит, округлив до единиц, имеем
  
  2471.
• Цифра сотых равна 5, значит, округлив до десятых, имеем
  
  2471,1.
• Цифра тысячных равна 6, значит, округлив до сотых, имеем
  
  2471,06.
• Цифра десятитысячных равна 2, значит, округлив до тысячных, имеем
  
  2471,056.

Все найденные значения называют приближенными значениями числа
= 2471,05624.

Приближенные значения появляются не только при округлении чисел. Они возникают, например, при различных измерениях (длин, масс, температур и т. д.). При этом важно знать, с какой точностью выполнено измерение.

Пусть — приближенное значение числа . Тогда модуль разности чисел и , т. е. |—
|, называют абсолютной погрешностью приближенного значения числа
, а отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называют относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример 2

Взвесив деталь, масса которой равна 54,12705 г, на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, получили приближенное значение массы 54,1 г. Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.

Решение:

Найдем абсолютную погрешность:

|54,12705 — 54,1| = 54,12705 — 54,1 = 0,02705.

Относительная погрешность равна

При измерениях, как правило, точные значения величин бывают неизвестны, поэтому важны сведения об абсолютных погрешностях приближенных значений. Если, например, деталь массы
взвесили на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, то это значит, что абсолютная погрешность измерения будет не более 0,1 г. Так, если, взвесив деталь, получили 54,1 г, то точное значение массы может отклоняться от 54,1 в ту или иную сторону не более чем на 0,1, т. е.

Короче это записывают так:
= 54,1 ±0,1.

Вообще если абсолютная погрешность приближенного значения
, найденного для интересующего нас числа
, не превосходит некоторого числа h, то пишут 
=
± h; говорят, что
— приближенное значение числа
с точностью до h.

Пример 3

Найти с точностью до 0,01 приближенное значение числа
= 2471,05624 .

Решение. Округлив число
(альфа) до сотых, получим (см. пример 1, г)
= 2471,06.

Абсолютная погрешность этого приближенного значения равна |2471,05624 — 2471,06| = 0,00376 < 0,01. Значит, 2471,06 — приближенное значение числа
с точностью до 0,01.

В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда. Например, найдя по таблице для числа
значение 1,4142, мы должны понимать, что это — приближенное значение с точностью до 0,0001, т. е. что его абсолютная погрешность не превосходит 0,00005:

=1,4142 ± 0,00005.

Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку

Возьмем иррациональное число
. Имеем:

Для числа
используют представление в виде бесконечной десятичной дроби:
= 1,4142… .

Числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 называют десятичными приближениями числа
по недостатку с точностью соответственно до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001, до 0,0001. Числа 2; 1,5; 1,42; 1,415,1,4143 называют десятичными приближениями числа
по избытку соответственно с той же точностью.

Число
имеет вид
= 3,1415926… . Десятичное приближение числа
с точностью до 0,0001 по недостатку равно 3,1415, а по избытку — 3,1416.

Правило извлечения квадратного корня из натурального числа

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа
, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.

• Разобьем число
  на грани (справа налево начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следуетучесть, что если состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число
  состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает, сколько цифр содержит целая часть числа .
• Подбираем наибольшую цифру такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра числа .
• Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число . Теперь подберем такую наибольшую цифру х, чтобы произведение числа
  на х не превосходило числа А. Цифра х —вторая цифра результата, т. е. искомого числа .
• Произведение числа
  на х вычтем из числа А, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число . Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение числа
  на у не превосходило числа В. Цифра у — третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.

Пример 1

Вычислить

Решение:

Разобьем число на грани: 13’83’84. Получили три грани, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как
Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим А = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим
= 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру х, чтобы произведение двузначного числа
т. е.
на х было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как
— это меньше 483, а
— это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.

Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим
= 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим В = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы произведение трехзначного числа
, т. е.
, на у не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как
. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.

Пример 2

Вычислить

Решение:

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.

Пример 3

Вычислить
с точностью до 0,01.

Решение:

Итак, с точностью до 0,01 имеем
= 2,65.

Понятие о степени с иррациональным показателем

Пусть
— иррациональное число. Поясним, какой смысл вкладывается в запись
, где
— положительное число. Рассмотрим три случая:
= 1,
> 1, 0 <
< 1.

• Если
  = 1, то полагают
• Пусть
  > 1. Возьмем любое рациональное число
  и любое рациональное число
  Тогда
  и
  В этом случае под
  понимают такое число, которое заключено между
  для любых рациональных чисел 
  таких, что
  а
  Такое число существует и единственно для любого
  > 1 и любого иррационального
  .
• Пусть 0 <
  < 1. Возьмем любое рациональное число
  и любое рациональное число
  Тогда
  В этом случае под
  понимают такое число, которое заключено между
  для любых рациональных чисел
  удовлетворяющих неравенству
  Такое число существует и единственно для любого числа
  из интервала (0; 1) и любого иррационального .

Свойства степеней с действительными показателями

Если
и х, у — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства: