Апофема в пирамиде: все формулы площади для правильных фигур

Что представляет собой пирамида?

С точки зрения точной науки геометрии, пирамида является фигурой в пространстве, образованной n-угольником, каждая из вершин которого соединена с одной единственной точкой. Эта точка в плоскости n-угольника находиться не должна. Здесь n — целое число, равное количеству углов (сторон) плоского многоугольника. Для наглядного представления описанной фигуры приведем фотографию.

Здесь изображен набор самых разных пирамид. Верхняя левая называется треугольной, поскольку ее основание является треугольником. Нижняя правая пирамида называется двадцатиугольной.

Эта фотография позволяет сделать некоторые выводы, касающиеся пирамид. Во-первых, стороны, которые соединяют n-угольник с вершиной фигуры, представляют собой треугольники. Во-вторых, количество сторон любой пирамиды равно n+1 (один n-угольник и n треугольников), n-угольник называют основанием, а треугольники — боковыми гранями. В-третьих, можно заметить, что увеличение сторон основания приближает пирамиду по своей форме к конусу. Этот факт позволяет считать конус пирамидой с бесконечным числом боковых граней.

Определение пирамиды

Пирамида – это геометрическая фигура в пространстве; многогранник, который состоит из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от количества углов основания.

Примечание: пирамида – это частный случай конуса.

Элементы пирамиды

Для рисунка выше:

• Основание (четырехугольник ABCD) – грань фигуры, являющая многогранником. Ей не принадлежит вершина.
• Вершина пирамиды (точка E) – общая точка всех боковых граней.
• Боковые грани – треугольники, которые сходятся в вершине. В нашем случае это: AEB, AED, BEC и CED.
• Боковые ребра – стороны боковых граней, за исключением тех, которые принадлежат основанию. Т.е. это AE, BE, CE и DE.
• Высота пирамиды (EF или h) – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
• Высота боковой грани (EM) – высота треугольника, являющегося боковой гранью фигуры. В правильной пирамиде называются апофемой.
• Площадь поверхности пирамиды – площадь основания и всех ее боковых граней. Формулы для нахождения площади поверхности (правильной фигуры), а также объема пирамиды представлены в отдельных публикациях.

Развёртка пирамиды – фигура, полученная при “разрезе” пирамиды, т.е. при совмещении всех ее граней в плоскости одной из них. Для правильной четырехугольной пирамиды развертка в плоскости основания выглядит следующим образом.

Виды сечения пирамиды

• Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональ основания. У четырехугольной пирамиды таких сечения два (по одному на каждую диагональ):
• Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечением является подобный основанию многоугольник.

1. пирамиды EABCD и EA1B1C1D1 подобны;
2. четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 также подобны.

Примечание: Существуют и другие виды сечения, но они не так распространены.

Правильные и неправильные фигуры

Мы выяснили, что такое основание фигуры. Тем не менее, до того как начать обсуждение формулы площади основания пирамиды, следует дать определение правильных и неправильных фигур этого класса.

Каждый школьник знает, что любой плоский многоугольник имеет геометрический центр. Если многоугольник изготовить из однородного материала, то геометрический центр совпадет с центром масс. Например, геометрический центр прямоугольника — это точка, где его диагонали пересекаются, для треугольника он находится в точке пересечения медиан. Концепция геометрического центра связана с понятиями правильной и неправильной пирамиды.

Выше было упомянуто о вершине пирамиды. Она соответствует точке, где пересекаются все треугольные боковые грани фигуры. Если из вершины опустить перпендикуляр к основанию, то длина полученного отрезка будет соответствовать расстоянию от вершины до основания. Этот отрезок называется высотой фигуры.

Если высота пересекает многоугольник в его геометрическом центре, то пирамида называется прямой. Если основанием прямой пирамиды будет многоугольник, имеющий стороны одинаковой длины и равные между собой углы, то пирамида называется правильной. Соответственно, если какое-либо из названных условий не выполняется, то говорят о неправильной пирамиде.

Согласно описанной классификации, пирамида Хеопса является правильной четырехугольной, имеющей в основании квадрат.

Виды пирамид

1. Правильная пирамида – основанием фигуры является правильный многоугольник, а ее вершина проецируется в центр основания. Может быть треугольной, четырехугольной (на рисунке ниже), пятиугольной, шестиугольной и т.д.
2. Пирамида с боковым ребром, перпендикулярным основанию – одно из боковых ребер фигуры расположено под прямым углом к плоскости основания. В этом случае данное ребро является высотой пирамиды.
3. Усеченная пирамида – часть пирамиды, оставшаяся между ее основанием и параллельной этому основанию секущей плоскостью.
4. Тетраэдр – это треугольная пирамида, гранями которой являются 4 треугольника, каждый из которых может быть принят за основание. Является правильным (как на рисунке ниже) – если все ребра равны, т.е. все грани – это равносторонние треугольники.

Свойства правильной пирамиды

• Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой
• Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками
• Апофемы правильной пирамиды равны
• В любую правильную пирамиду можно вписать и описать около неё сферу
• Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение.Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.Определение.Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Площадь основания правильной пирамиды

Правильная пирамида может быть трех видов:

• треугольная,
• четырехугольная,
• шестиугольная.

Соответственно у правильной треугольной пирамида основание — равносторонний треугольник. У правильной четырехугольной пирамиды основание — квадрат. В основании шестиугольной правильной пирамиды в основании лежит шестиугольник.

Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Sполн. = Sбок. + Sосн.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

• Через длину основания (a) и высоту (h):

 

• Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды

В основании равносторонний треугольник — находим его площадь:

, где — сторона треугольника.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, площадь квадрата:

, где — сторона квадрата.

Основание четырехугольной пирамиды

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды

Это площадь правильного шестиугольника. Если известна сторона шестиугольника, то площадь правильного шестиугольника находится по формуле:

Апофема правильной пирамиды

Ее также называют апотемой. Под ней понимают перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к стороне основания фигуры. По своему определению этот перпендикуляр соответствует высоте треугольника, который образует боковую грань пирамиды.

Поскольку мы рассматриваем пирамиду правильную с n-угольным основанием, то все n апофем для нее будут одинаковыми, поскольку таковыми являются равнобедренные треугольники боковой поверхности фигуры. Заметим, что одинаковые апофемы являются свойством правильной пирамиды. Для фигуры общего типа (наклонной с неправильным n-угольником) все n апофем будут разными.

Еще одним свойством апофемы пирамиды правильной является то, что она одновременно является высотой, медианой и биссектрисой соответствующего треугольника. Это означает, что она делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника.

Треугольная пирамида и формулы для определения ее апофемы

В любой правильной пирамиде важными линейными характеристиками являются длина стороны ее основания, ребро боковое b, высота h и апофема hb. Эти величины друг с другом связаны соответствующими формулами, которые можно получить, если начертить пирамиду и рассмотреть необходимые прямоугольные треугольники.

Правильная треугольная пирамида состоит из 4 треугольных граней, причем одна из них (основание) должна быть обязательно равносторонней. Остальные являются равнобедренными в общем случае. Апофему треугольной пирамиды можно определить через другие величины по следующим формулам:

hb = √(b2 — a2/4);

hb = √(a2/12 + h2)

Первое из этих выражений справедливо для пирамиды с любым правильным основанием. Второе выражение характерно исключительно для треугольной пирамиды. Оно показывает, что апофема всегда больше высоты фигуры.

Не следует путать апофему пирамиды с таковой для многогранника. В последнем случае апофемой называется перпендикулярный отрезок, проведенный к стороне многогранника из его центра. Например, апофема равностороннего треугольника равна √3/6*a.

Задача на вычисление апофемы

Пусть дана правильная пирамида с треугольником в основании. Необходимо вычислить ее апофему, если известно, что площадь этого треугольника равна 34 см2, а сама пирамида состоит из 4 одинаковых граней.

В соответствии с условием задачи мы имеем дело с тетраэдром, состоящим из равносторонних треугольников. Формула для площади одной грани имеет вид:

S = √3/4*a2

Откуда получаем длину стороны a:

a = 2*√(S/√3)

Для определения апофемы hb воспользуемся формулой, содержащей боковое ребро b. В рассматриваемом случае его длина равна длине основания, имеем:

hb = √(b2 — a2/4) = √3/2*a

Подставляя значение a через S, получим конечную формулу:

hb = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

Мы получили простую формулу, в которой апофема пирамиды зависит только от площади ее основания. Если подставить значение S из условия задачи, то получим ответ: hb ≈ 7,674 см.

Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?

Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение — «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:

S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.

Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:

S = n/2 * в2 sin α.

Примеры решения задач

Задача 1

Дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 2. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: пирамида правильная и треугольная, значит, в основании равносторонний треугольник. Тогда площадь основания пирамиды находится по формуле: . Нам дана сторона , тогда

Ответ:

Задача 2

Строитель решил построить здание в форме правильной шестиугольной пирамиды, для основания пирамиды у него есть доски, каждая площадью 0,5
м2. Сколько досок ему понадобится, если сторона основания пирамиды равна 6 м?

Решение:

Рассчитаем площадь основания правильной шестиугольной пирамиды. Для этого воспользуемся формулой: . Подставим в нее значение стороны . Получим:
м2.

Теперь подсчитаем, сколько нам понадобится досок: .

Ответ: 108 досок.

Задача 3

Основанием пирамиды является прямоугольный равнобедренный треугольник, с катетом, равным 4. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение: иными словами — нас просят определить площадь прямоугольного равнобедренного треугольника. Так как треугольник прямоугольный и равнобедренный, то один из катетов будет основанием треугольника, а другой — высотой. Определяем площадь по формуле:

.

Ответ: 8

Задача 4

Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит равносторонний треугольник со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.

Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см2.

Для треугольника в основании получится такое значение площади: (42*√3) / 4 = 4√3 см2.

Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см2.

Ответ. 10√3 см2.

Задача 5

Условие. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.

Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.

Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм2. Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16)2) = √2985,9375 = 54,644 мм2. Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.

Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.

Ответ. Искомое значение 267,576 мм2.

Задача 6

Условие. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.

Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.

Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть прямоугольный треугольник. Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.

Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(32 + 42) = 5 (см).

Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+62 = 96 (см2).

Ответ. 96 см2.

Задача 7

Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?

Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.

Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*222) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см2.

Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.

Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61)2)=√435600=660 см2. Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см2. Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см2.

Ответ. Основания — 726√3 см2, боковой поверхности — 3960 см2, вся площадь — 5217 см2.